Die Faktorisierungsmethode für die elektrische Impedanztomographie im Halbraum
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Abstract
In der vorliegenden Arbeit wird die Faktorisierungsmethode zur
Erkennung von Inhomogenitäten der Leitfähigkeit in der elektrischen
Impedanztomographie auf unbeschränkten Gebieten - speziell der
r
Halbebene bzw. dem Halbraum - untersucht. Als Lösungsräume für das
direkte Problem, d.h. die Bestimmung des elektrischen Potentials zu
vorgegebener Leitfähigkeit und zu vorgegebenem Randstrom, führen wir
gewichtete Sobolev-Räume ein. In diesen wird die Existenz von schwachen
Lösungen des direkten Problems gezeigt und die Gültigkeit einer
Integraldarstellung für die Lösung der Laplace-Gleichung, die man bei homogener
Leitfähigkeit erhält, bewiesen. Mittels der Faktorisierungsmethode geben wir
eine explizite Charakterisierung von
Einschlüssen an, die gegenüber dem Hintergrund eine sprunghaft erhöhte
oder erniedrigte Leitfähigkeit haben. Damit ist
zugleich für diese Klasse von Leitfähigkeiten die eindeutige
Rekonstruierbarkeit der Einschlüsse bei Kenntnis der lokalen
Neumann-Dirichlet-Abbildung gezeigt.
Die mittels der Faktorisierungsmethode erhaltene Charakterisierung
der Einschlüsse haben wir in ein
numerisches Verfahren umgesetzt und sowohl im zwei- als
auch im
dreidimensionalen Fall mit simulierten, teilweise gestörten Daten
getestet. Im Gegensatz zu anderen bekannten Rekonstruktionsverfahren
benötigt das hier vorgestellte keine Vorabinformation über Anzahl und
Form der Einschlüsse und hat als nicht-iteratives Verfahren einen
vergleichsweise geringen Rechenaufwand.