Die Faktorisierungsmethode für die elektrische Impedanztomographie im Halbraum

Abstract

In der vorliegenden Arbeit wird die Faktorisierungsmethode zur Erkennung von Inhomogenitäten der Leitfähigkeit in der elektrischen Impedanztomographie auf unbeschränkten Gebieten - speziell der r Halbebene bzw. dem Halbraum - untersucht. Als Lösungsräume für das direkte Problem, d.h. die Bestimmung des elektrischen Potentials zu vorgegebener Leitfähigkeit und zu vorgegebenem Randstrom, führen wir gewichtete Sobolev-Räume ein. In diesen wird die Existenz von schwachen Lösungen des direkten Problems gezeigt und die Gültigkeit einer Integraldarstellung für die Lösung der Laplace-Gleichung, die man bei homogener Leitfähigkeit erhält, bewiesen. Mittels der Faktorisierungsmethode geben wir eine explizite Charakterisierung von Einschlüssen an, die gegenüber dem Hintergrund eine sprunghaft erhöhte oder erniedrigte Leitfähigkeit haben. Damit ist zugleich für diese Klasse von Leitfähigkeiten die eindeutige Rekonstruierbarkeit der Einschlüsse bei Kenntnis der lokalen Neumann-Dirichlet-Abbildung gezeigt.

Die mittels der Faktorisierungsmethode erhaltene Charakterisierung der Einschlüsse haben wir in ein numerisches Verfahren umgesetzt und sowohl im zwei- als auch im dreidimensionalen Fall mit simulierten, teilweise gestörten Daten getestet. Im Gegensatz zu anderen bekannten Rekonstruktionsverfahren benötigt das hier vorgestellte keine Vorabinformation über Anzahl und Form der Einschlüsse und hat als nicht-iteratives Verfahren einen vergleichsweise geringen Rechenaufwand.

In this thesis we consider the factorization method for the reconstruction of inhomogeneities in Electrical Impedance Tomography on unbounded domains. As a model for an unbounded domain with nearly planar boundary the upper half plane and the upper half space are used. As solution spaces for the direct problem, i.e. the determination of the electric potential for given conductivity and given boundary current, we introduce weighted Sobolev spaces. In these spaces existence of weak solutions of the direct problem is proven and an integral representation for the weak solution of the Laplace equation, which we obtain for a homogeneous domain, is established. Using the factorization method we prove an explicit characterization of inclusions where the conductivity differs significantly from the background conductivity. This result also provides the unique identifiability for this class of conductivities from the knowledge of the local Neumann-to-Dirichlet operator.

The characterization of the inclusions obtained by the factorization method is then translated into a reconstruction algorithm. The method is tested in two dimensions as well as in three dimensions using simulated, partially noisy data. In contrast to other known reconstruction algorithms the method presented in this thesis does not need any a priori knowledge about the number and the shape of the inclusions. It is a non iterative algorithm and such has comparatively small computational cost.