Analysis of nonlinear diffusion equations of second and fourth order
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Wegen der fortschreitenden Miniaturisierung von Halbleiterbauteilen spielen Quanteneffekte eine immer
wichtigere Rolle. Quantenphänomene werden gewöhnlich durch kinetische Gleichungen beschrieben, aber manchmal hat eine fluid-dynamische Beschreibung Vorteile: die bessere Nutzbarkeit für numerische Simulationen und die einfachere Vorgabe von Randbedingungen. In dieser Arbeit werden drei Diffusionsgleichungen zweiter und vierter Ordnung untersucht. Der erste Teil behandelt
die implizite Zeitdiskretisierung und das Langzeitverhalten einer
degenerierten Fokker-Planck-Gleichung. Der zweite Teil der Arbeit
besteht aus der Untersuchung des viskosen Quantenhydrodynamischen
Modells in einer Raumdimension und dessen Langzeitverhaltens. Im
letzten Teil wird die Existenz von Lösungen einer parabolischen Gleichung vierter Ordnung in
einer Raumdimension bewiesen, und deren Langzeitverhalten studiert.