Ancestral lineages in the contact process : scaling and hitting properties
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Abstract
Diese Dissertation beschäftigt sich mit Ahnenlinien in einem zeitdiskreten, räumlichen Populationsmodell mit lokaler Regulierung, nämlich dem (zeitdiskreten) Kontaktprozess. Die Ahnenlinien können ebenfalls als gerichtete Irrfahrten in einer zufälligen, dynamischen Umgebung (RWDRE) interpretiert werden. Die Umgebung, die wir in dieser Arbeit betrachten, wird in der Literatur als "backbone" eines gerichteten Perkolationsclusters bezeichnet. In unserem Modell wählt ein Individuum seinen Elter in jedem diskreten Zeitschritt gleichverteilt unter allen Individuen, welche sich in der vorherigen Generation in seiner nächsten Nachbarschaft befinden. Die Wahl des Elters in jedem Zeitschritt geschieht dabei unabhängig von allem anderen.
Im Jahr 2013 wurde dieses Modell von Birkner, Černý, Depperschmidt und Gantert analysiert [BCDG13]. Die Autoren haben bewiesen, dass die Irrfahrten, welche die Ahnenlinien modellieren, ein Gesetz der großen Zahl und einen "quenched" zentralen Grenzwertsatz erfüllen.
Dieser Artikel ist im Zusammenhang mit weiteren, anschließenden Veröffentlichungen Grundlage für die in dieser Arbeit behandelten Fragestellungen und Probleme.
Im ersten Kapitel dieser Arbeit definieren wir das von uns betrachtete Modell und führen die im Weiteren verwendete Notation ein. Im zweiten Kapitel betrachten wir die gemeinsame Verteilung der Ahnenlinien aller Individuen der verschiedenen Generationen im eindimensionalen Fall. Der Ausdruck "eindimensionaler Fall" bezieht sich darauf, dass sich die Individuen in einem eindimensionalen Raum befinden. Es stellt sich heraus, dass die diffusiv reskalierte Sammlung aller Pfad schwach gegen das Brownsche Web konvergiert. Wir verifizieren hierzu die Konvergenzkriterien in [FINR04] und [Sun05]. Hauptaufgabe ist es, hierzu geeignete Abschätzungen für die Anzahl an Generationen bis zu einem Verschmelzen zweier Ahnenlinien zu finden.
Es stellt sich heraus, dass der asymptotische Abfall für die Wahrscheinlichkeit, dass ein gemeinsamer Vorfahre erst nach n Generationen gefunden wird, im eindimensionalen Fall von der Ordnung O(n^{1/2}) ist. Diese Abfallrate würde man auch für die Treffzeit zweier einfacher Irrfahrten erwarten. Man kann daher sagen, dass nicht besetzte Gebiete, welche die Verschmelzung der Ahnenlinien verhindern könnten, im eindimensionalen Fall die Wartezeit auf den ersten gemeinsamen Vorfahren nicht "wesentlich" verlängern.
Im dritten Kapitel beschäftigen wir uns mit Abschätzungen für die Differenz zwischen "annealed" und "quenched" Wahrscheinlichkeiten, Boxen unterschiedlicher Größe zu treffen. Das Finden solcher Abschätzungen ist durch einen aktuellen Artikel von Berger, Cohen und Rosenthal [BCR16] motiviert, in welchem die Autoren Abschätzungen dieser Art verwenden, um einen "quenched" lokalen zentralen Grenzwertsatz für ballistische Irrfahrten in einer u.i.v. Umgebung zu beweisen. Hierbei ist es uns gelungen, ihre Beweisideen auf unser Modell bis auf das Treffen von Boxen der Seitenlänge exp((log(N)loglog(N))^(1/2)) zu übertragen. Für Raumdimensionen mindestens drei impliziert dieses Ergebnis bereits den "quenched" zentralen Grenzwertsatz (qCLT) von Birkner et al. und stellt eine wesentliche Verfeinerung der aus dem qCLT zu gewinnenden Abschätzungen zwischen "annealed" und "quenched" Wahrscheinlichkeiten dar.