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Authors: Steiber, Sebastian
Title: Ancestral lineages in the contact process : scaling and hitting properties
Online publication date: 11-Mar-2017
Year of first publication: 2017
Language: english
Abstract: Diese Dissertation beschäftigt sich mit Ahnenlinien in einem zeitdiskreten, räumlichen Populationsmodell mit lokaler Regulierung, nämlich dem (zeitdiskreten) Kontaktprozess. Die Ahnenlinien können ebenfalls als gerichtete Irrfahrten in einer zufälligen, dynamischen Umgebung (RWDRE) interpretiert werden. Die Umgebung, die wir in dieser Arbeit betrachten, wird in der Literatur als "backbone" eines gerichteten Perkolationsclusters bezeichnet. In unserem Modell wählt ein Individuum seinen Elter in jedem diskreten Zeitschritt gleichverteilt unter allen Individuen, welche sich in der vorherigen Generation in seiner nächsten Nachbarschaft befinden. Die Wahl des Elters in jedem Zeitschritt geschieht dabei unabhängig von allem anderen. Im Jahr 2013 wurde dieses Modell von Birkner, Černý, Depperschmidt und Gantert analysiert [BCDG13]. Die Autoren haben bewiesen, dass die Irrfahrten, welche die Ahnenlinien modellieren, ein Gesetz der großen Zahl und einen "quenched" zentralen Grenzwertsatz erfüllen. Dieser Artikel ist im Zusammenhang mit weiteren, anschließenden Veröffentlichungen Grundlage für die in dieser Arbeit behandelten Fragestellungen und Probleme. Im ersten Kapitel dieser Arbeit definieren wir das von uns betrachtete Modell und führen die im Weiteren verwendete Notation ein. Im zweiten Kapitel betrachten wir die gemeinsame Verteilung der Ahnenlinien aller Individuen der verschiedenen Generationen im eindimensionalen Fall. Der Ausdruck "eindimensionaler Fall" bezieht sich darauf, dass sich die Individuen in einem eindimensionalen Raum befinden. Es stellt sich heraus, dass die diffusiv reskalierte Sammlung aller Pfad schwach gegen das Brownsche Web konvergiert. Wir verifizieren hierzu die Konvergenzkriterien in [FINR04] und [Sun05]. Hauptaufgabe ist es, hierzu geeignete Abschätzungen für die Anzahl an Generationen bis zu einem Verschmelzen zweier Ahnenlinien zu finden. Es stellt sich heraus, dass der asymptotische Abfall für die Wahrscheinlichkeit, dass ein gemeinsamer Vorfahre erst nach n Generationen gefunden wird, im eindimensionalen Fall von der Ordnung O(n^{1/2}) ist. Diese Abfallrate würde man auch für die Treffzeit zweier einfacher Irrfahrten erwarten. Man kann daher sagen, dass nicht besetzte Gebiete, welche die Verschmelzung der Ahnenlinien verhindern könnten, im eindimensionalen Fall die Wartezeit auf den ersten gemeinsamen Vorfahren nicht "wesentlich" verlängern. Im dritten Kapitel beschäftigen wir uns mit Abschätzungen für die Differenz zwischen "annealed" und "quenched" Wahrscheinlichkeiten, Boxen unterschiedlicher Größe zu treffen. Das Finden solcher Abschätzungen ist durch einen aktuellen Artikel von Berger, Cohen und Rosenthal [BCR16] motiviert, in welchem die Autoren Abschätzungen dieser Art verwenden, um einen "quenched" lokalen zentralen Grenzwertsatz für ballistische Irrfahrten in einer u.i.v. Umgebung zu beweisen. Hierbei ist es uns gelungen, ihre Beweisideen auf unser Modell bis auf das Treffen von Boxen der Seitenlänge exp((log(N)loglog(N))^(1/2)) zu übertragen. Für Raumdimensionen mindestens drei impliziert dieses Ergebnis bereits den "quenched" zentralen Grenzwertsatz (qCLT) von Birkner et al. und stellt eine wesentliche Verfeinerung der aus dem qCLT zu gewinnenden Abschätzungen zwischen "annealed" und "quenched" Wahrscheinlichkeiten dar.
This thesis deals with ancestral lineages in a time discrete spatial population model with local density regulation, namely the (discrete time) contact process. The ancestral lineages can be seen as directed random walks in a dynamic random environment (RWDRE), where at each discrete time step a particle chooses its parent uniformly among the particles in the previous generation, located at its nearest neighbourhood. The choice at each time step is independent of everything else in the model. In the literature the dynamic random environment we focus on is called the "backbone" of an oriented percolation cluster. In [BCDG13] Birkner, Černý, Depperschmidt and Gantert analysed this model and proved a law of large numbers and a quenched central limit theorem for the random walks that model the ancestral lineages. In this thesis we mainly focus on problems and questions that arise out of their work and which have been additionally inspired by subsequently published articles. Within the first chapter we give a precise definition of the model and establish the notation that will be used within the rest of the thesis. Afterwards, in the second chapter we focus on the common distribution of the ancestral lineages of all individuals over all generations in the one-dimensional case. Talking about the "one-dimensional case" we mean that the dimension of the space in which the particles are located equals one. It turns out that the diffusively rescaled collection of all the ancestral paths converges weakly to the Brownian web. Checking the convergence criteria given in [FINR04] and extended by Sun in his PhD thesis [Sun05], the main task is to find suitable bounds on the number of generations one has to wait, until the ancestral lineages of two individuals located within a fixed distance coalesce. We are able to prove that the tail bounds for the event of the coalescing time to be greater than n are of order O(n^{1/2}) in the one-dimensional case. Therefore the tail bounds are of the same order one would expect from ordinary nearest neighbour simple random walks. Hence one could say that in the one-dimensional case unoccupied areas that might prevent a coalescing event do not substantially increase the time until a coalescing event occurs. In the third chapter we prove estimates between quenched and annealed hitting probabilities of differently sized boxes. Investigation of this problem is motivated by a paper of Berger, Cohen and Rosenthal [BCR16], in which the authors used this kind of estimates to prove a quenched local central limit theorem for a (ballistic) random walk in an i.i.d. environment. We are able to adapt their ideas to our model up to a comparison for boxes of side length exp((log(N)loglog(N))^(1/2)). This result already implies the quenched central limit theorem (qCLT) proved by Birkner et al., for space dimension at least three and provides a comparison between quenched and annealed hitting probabilities on a much finer scale than the comparison that follows out of the qCLT.
DDC: 510 Mathematik
510 Mathematics
Institution: Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Department: FB 08 Physik, Mathematik u. Informatik
Place: Mainz
ROR: https://ror.org/023b0x485
DOI: http://doi.org/10.25358/openscience-3307
URN: urn:nbn:de:hebis:77-diss-1000010573
Version: Original work
Publication type: Dissertation
License: In Copyright
Information on rights of use: https://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/
Extent: xii, 103 Seiten
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