Parameterschätzung in Verzweigungsprozessen mit Immigration

Abstract

Im Verzweigungsprozess mit Immigration werden Schätzer für die erwartete Nachkommenzahl m eines Individuums und die erwartete Immigration λ pro Generation konstruiert. Sie sind nur aufgrund der beobachteten Populationsgröße einer jeden Generation konsistent, ohne Vorkenntnis darüber, ob der Prozess subkritisch (m<1), kritisch (m=1) oder superkritisch (m>1) ist. Im superkritischen Fall ist der Schätzer für λ jedoch nicht konsistent. Dies ist aber keine Einschränkung, denn es wird gezeigt, dass in diesem Fall kein konsistenter Schätzer für λ existiert. Des Weiteren werden Konvergenzgeschwindigkeit der Schätzer und asymptotische Verteilungen der Schätzfehler untersucht. Dabei werden die Fälle (m<1), (m>1) und (m=1) unterschieden, was gänzlich verschiedene Vorgehensweisen erfordert (Ergodizität, Martingalmethoden, Diffusionsapproximationen). Diese hier vorliegende Diplomarbeit orientiert sich an den Ideen und Ergebnissen von Wei und Winnicki (1989/90).

In the branching process with immigration estimators for the mean offspring m of an individual and the mean immigration λ per generation are constructed, which evaluate only the population size of each generation. They are consistent, without previous knowledge whether the process is subcritical (m<1), critical (m=1) or supercritical (m>1), except the estimator for λ in the supercritical case. But this is no restriction because it is shown that there exists no consistent estimator for λ in this case. Further the estimator’s rate of convergence and the asymptotic distribution of the estimation errors are investigated. Therefore the cases (m<1), (m>1) and (m=1) have to be differentiated, which demands different approaches (ergodicity, martingale methods, diffusion approximation). This diploma thesis is oriented along the ideas and results of Wei and Winnicki (1989/90).