Please use this identifier to cite or link to this item: http://doi.org/10.25358/openscience-6766
Authors: Brunk, Aaron
Title: Viscoelastic phase separation: Well-posedness and numerical analysis
Online publication date: 11-May-2022
Language: english
Abstract: Viscoelastic phase separation describes dynamically asymmetric demixing of polymer solutions after a deep quench, i.e., after a sudden decrease in the temperature. The dynamic asymmetry of the polymer solution gives rise to new and more complex phenomena than the standard phase separation of binary fluids. Coupled with the incomplete timescale separation, the process forms a complex multiscale problem. Phenomenological continuum mechanical models for standard phase separation, e.g., model H, are insufficient to capture the enriched dynamics observed in experiments for viscoelastic phase separation. Hence, a key difficulty is the derivation of more complex models which resemble experimental data and preserve fundamental principles of physics, e.g., conservation of mass, momentum, and the second law of thermodynamics. For a suitable phenomenological model, we consider mathematical well-posedness of the problem, i.e., existence, uniqueness and stability of solutions. The models are complex nonlinear parabolic systems of partial differential equations with an energy-dissipative structure based on a non-convex free energy functional. The key difficulties arise due to a strongly nonlinear cross-diffusive coupling of one subsystem and a logarithmic type of free energy for another subsystem. We prove the global-in-time existence of dissipative weak solutions in two and three space dimensions using the energy method. Additionally, we employ relative energy methods to derive an abstract stability result. As an application, this approach yields the weak-strong uniqueness principle for dissipative weak solutions. For the numerical approximation and the corresponding error analysis, it is suitable to derive numerical methods which preserve the second law of thermodynamics also on the discrete level. Key difficulties are the correct discretisation of the convective terms on the discrete level and suitable time integration methods for the non-convex energy. For the semi-discretisation of a reduced model, we consider conforming inf-sup finite elements in space and analyse the corresponding semi-discrete problem. The thermodynamic properties are preserved by the Galerkin method, hence using a discrete version of the nonlinear stability estimate allows us to deduce the optimal second-order accuracy in a transparent and structured way. In the fully discrete case, we employ a variational time discretisation via a Petrov-Galerkin method on the semi-discrete system. Time-discrete thermodynamic structure is preserved and together with a fully discrete stability estimate the corresponding error analysis is derived. This allows us to deduce here the optimal second-order accuracy in space and time using realistic smoothness assumptions. Theoretical error estimates of the semi-discrete and fully discrete scheme are illustrated by a series of numerical experiments.
Viskoelastische Phasenseparation beschreibt die dynamische asymmetrische Entmischung einer Polymerlösung nach dem Abschrecken, einer plötzlichen Abnahme der Temperatur. Die dynamische Asymmetrie der Polymerlösung ruft neue und komplexere Effekte hervor als die normale Phasenseparation von binären Flüssigkeiten. In Kombination mit der unvollständigen Skalenseparation formt der Prozess ein komplexes Mehrskalensystem. Kontinuumsmechanische Modelle für die Phasenseparation, z.B. das Modell H, sind nicht ausreichend, um die erweiterte Dynamik zu beschreiben, die in Experimenten zur viskoelastischen Phasenseparation beobachtet worden ist. Eine Schlüsselschwierigkeit ist die Konstruktion eines erweiterten Modells, welches die experimentellen Daten reproduzieren kann und konsistent mit den Grundprinzipien der Physik ist. Dies beinhaltet insbesondere die Erhaltung von Masse, Impuls und den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik. Für ein solches Modell werden wir die mathematische Wohlgestellheit des Problems, also Existenz, Eindeutigkeit und Stabilität von Lösungen, untersuchen. Die betrachteten Modelle sind komplexe, nichtlineare, parabolische Systeme von partiellen Differenzialgleichungen mit einer energiedissipativen Struktur basierend auf einem nicht-konvexen Energiefunktional. Die Schlüsselschwierigkeit hier entsteht zum einen aufgrund der Kreuzdiffusionsstruktur eines Teilproblems und zum anderen durch die logarithmische freie Energie eines anderen Teilproblems. Wir beweisen die Existenz von globalen dissipativen schwachen Lösungen, in zwei und drei Raumdimensionen, mittels Energiemethoden. Weiter verwenden wir die relative Energiemethode, um ein abstraktes Stabilitätsresultat zu erhalten. Eine Konsequenz ist die schwach-starke Eindeutigkeit für dissipative schwache Lösungen. In der numerischen Approximation und der zugehörigen Fehleranalyse ist es nützlich, dass das Verfahren den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik erhält. Die Schlüsselschwierigkeit hier ist die richtige Diskretisierung der konvektiven Terme im diskreten und eine geeignete Zeitintegrationsmethode für den nicht-konvexen Teil der Energie. Für die Teildiskretisierung eines reduzierten Modells betrachten wir konforme inf-sup stabile Finite Elemente Methoden im Raum und analysieren diese. Die thermodynamischen Eigenschaften werden unter Galerkinprojektion erhalten und wir verwenden eine diskrete Version des Stabilitätsresultats um die optimale Approximationsordnung zwei mittels eines transparenten und strukturierten Zugangs zu beweisen. Für eine volle Diskretisierung verwenden wir eine variationelle Zeitdiskretisierung mittels Petrov-Galerkinmethoden auf Basis der Teildiskretisierung im Raum. Die diskrete thermodynamische Struktur ist erhalten und mithilfe eines volldiskreten Stabilitätsresultats führen wir die Fehleranalyse durch. Wir beweisen die optimale Approximationsordnung zwei in Raum und Zeit mittels realistischen Glattheitsannahmen. Die theoretische Analyse der Teil- und Volldiskretisierung wird mittels numerischer Experimente illustriert.
DDC: 510 Mathematik
510 Mathematics
Institution: Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Department: FB 08 Physik, Mathematik u. Informatik
Place: Mainz
DOI: http://doi.org/10.25358/openscience-6766
URN: urn:nbn:de:hebis:77-openscience-3bdeee1f-e039-4014-a4d9-ee28a2c54f4e5
Version: Original work
Publication type: Dissertation
License: in Copyright
Information on rights of use: http://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/
Extent: ix, 170 Seiten
Appears in collections:JGU-Publikationen

Files in This Item:
  File Description SizeFormat
Thumbnail
viscoelastic_phase_separation-20220502102746255.pdf18.03 MBAdobe PDFView/Open