Authors:	Hollborn, Stefanie
Title:	Ein inverses Rückstreuproblem der elektrischen Impedanztomographie
Online publication date:	14-Sep-2012
Year of first publication:	2012
Language:	german
Abstract:	Die vorliegende Arbeit untersucht das inverse Hindernisproblem der zweidimensionalen elektrischen Impedanztomographie (EIT) mit Rückstreudaten. Wir präsentieren und analysieren das mathematische Modell für Rückstreudaten, diskutieren das inverse Problem für einen einzelnen isolierenden oder perfekt leitenden Einschluss und stellen zwei Rekonstruktionsverfahren für das inverse Hindernisproblem mit Rückstreudaten vor. Ziel des inversen Hindernisproblems der EIT ist es, Inhomogenitäten (sogenannte Einschlüsse) der elektrischen Leitfähigkeit eines Körpers aus Strom-Spannungs-Messungen an der Körperoberfläche zu identifizieren. Für die Messung von Rückstreudaten ist dafür nur ein Paar aus an der Körperoberfläche nahe zueinander angebrachten Elektroden nötig, das zur Datenerfassung auf der Oberfläche entlang bewegt wird. Wir stellen ein mathematisches Modell für Rückstreudaten vor und zeigen, dass Rückstreudaten die Randwerte einer außerhalb der Einschlüsse holomorphen Funktion sind. Auf dieser Grundlage entwickeln wir das Konzept des konvexen Rückstreuträgers: Der konvexe Rückstreuträger ist eine Teilmenge der konvexen Hülle der Einschlüsse und kann daher zu deren Auffindung dienen. Wir stellen einen Algorithmus zur Berechnung des konvexen Rückstreuträgers vor und demonstrieren ihn an numerischen Beispielen. Ferner zeigen wir, dass ein einzelner isolierender Einschluss anhand seiner Rückstreudaten eindeutig identifizierbar ist. Der Beweis dazu beruht auf dem Riemann'schen Abbildungssatz für zweifach zusammenhängende Gebiete und dient als Grundlage für einen Rekonstruktionsalgorithmus, dessen Leistungsfähigkeit wir an verschiedenen Beispielen demonstrieren. Ein perfekt leitender Einschluss ist hingegen nicht immer aus seinen Rückstreudaten rekonstruierbar. Wir diskutieren, in welchen Fällen die eindeutige Identifizierung fehlschlägt und zeigen Beispiele für unterschiedliche perfekt leitende Einschlüsse mit gleichen Rückstreudaten. The present thesis investigates the inverse obstacle problem of two-dimensional impedance tomography with backscatter data. We present and analyze the mathematical model for backscatter data and we discuss the inverse problem for a single insulating or perfectly conducting inclusion. Furthermore, we introduce two reconstruction algorithms for the inverse obstacle problem. The aim of the inverse obstacle problem in impedance tomography is to identify inhomogeneities in the electric conductivity of a physical body by means of current-voltage-measurements at the object's boundary. For the acquisition of backscatter data, only a single pair of closely adjacent electrodes is necessary that is moved along the object's boundary recording data. We present a mathematical model for backscatter data and we show that backscatter data are the boundary values of a function that is holomorphic in the exterior of the inclusions. On this basis we develop the concept of the convex backscattering support: The convex backscattering support is a subset of the convex hull of the inclusions and hence gives evidence about their location. We present an algorithm that determines the convex backscattering support and illustrate it by numerical examples. Furthermore, we show that a single insulating inclusion is uniquely determined by its backscatter data. The proof relies on the Riemann mapping theorem for doubly connected regions. It is constructive and gives rise to a reconstruction algorithm whose performance is demonstrated by various examples. A perfectly conducting inclusion however is not always identifiable by its backscatter data. We investigate in which cases uniqueness fails and present examples for different inclusions whose backscatter data coincide.
DDC:	510 Mathematik 510 Mathematics
Institution:	Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Department:	FB 08 Physik, Mathematik u. Informatik
Place:	Mainz
ROR:	https://ror.org/023b0x485
DOI:	http://doi.org/10.25358/openscience-4680
URN:	urn:nbn:de:hebis:77-32180
Version:	Original work
Publication type:	Dissertation
License:	In Copyright
Information on rights of use:	https://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/
Extent:	100 S.
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