Pseudodifferentialoperatoren mit nichtregulären banachraumwertigen Symbolen
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Untersucht werden in der vorliegenden Arbeit Versionen des Satzes von Michlin f¨r Pseudodiffe-
u
rentialoperatoren mit nicht-regul¨ren banachraumwertigen Symbolen und deren Anwendungen
a
auf die Erzeugung analytischer Halbgruppen von solchen Operatoren auf vektorwertigen Sobo-
levr¨umen Wp (Rn , E), wobei k ∈ N0 , 1 ≤ p ≤ ∞ und E ein Banachraum ist.
a k
F¨r einen beliebigen Banachraum E und beliebige L(E)−wertige
Symbole ist es unm¨glich
u o
einen Satz von Michlin auf Lp (R n , E) zu erhalten. Deshalb ersetzen wir den L −Raum durch
p
den Vektorraum V (Rn , E), der durch die Vereinigung aller Besovr¨ume Bp,q (Rn , E) erkl¨rt
a s a
ist. F¨r Banachr¨ume Ei , i = 0, 1, 2, Skalare m ∈ R, l, ρ ∈ N mit ρ ≥ 2l > n und Symbo-
u a
m,ρ
le a ∈ S1,0 (Rn , E1 ) , die beschr¨nkte stetige Ableitungen bis zur Ordnung ρ besitzen, wird
a
gezeigt, dass es eine eindeutige lineare Abbildung a (D) : V (Rn , E2 ) −→ V (Rn , E0 ) gibt,
so dass a (D) ∈ L(Bp,q (Rn , E2 ) , Bp,q (Rn , E0 )) und ihre Restriktion auf jeder Schnittmenge
s+m
s
∞
Cb (Rn , E2 ) ∩ Bp,q (Rn , E2 ) (s ∈ R, p, q ∈ [1, ∞]) mit der klassischen Definition des Pseu-
s+m
dodifferentialoperators a(D), der in [Ku,81] durch ein oszillatorisches Integral definiert wurde,
ubereinstimmt. Mit Hilfe dieser Version des Satzes von Michlin wird bewiesen, dass geeignete Re-
¨
striktionen des Operators −a (D) analytische Halbgruppen auf den Besovr¨umen Bp,q (Rn , E0 )
a s
und C ∞ −Halbgruppen auf den Sobolevr¨umen Wp (Rn , E0 ) erzeugen.
a k
Weiterhin wird aus a (D) ∈ L(Bp,q (Rn , E2 ) , Bp,q (Rn , E0 )), der stetigen Einbettung
s+m s
Bp,1 (Rn , E) → Wp (Rn , E) → Bp,∞ (Rn , E)
k k k
(
1 ≤ p ≤ ∞)
k
und einigen Eigenschaften der Interpolationstheorie hergeleitet, dass die Wp −Realisierung eines
parabolischen Pseudodifferentialoperators, dessen entsprechendes Symbol einen m−homogenen
Hauptteil besitzt, der negative Erzeuger einer analytischen Halbgruppe auf Wp (Rn , E0 ) ist
k
(und sogar eine stark stetige Halbgruppe, wenn p < ∞). Daraus erhalten wir Existenz und
Eindeutigkeit von L¨sungen nicht-autonomer Cauchy-Probleme in Besov- und Sobolevr¨umen.
o a
r m,ρ
Schließlich f¨hren wir eine Symbolklasse C∗ S1,δ (Rn , E) ein, in der Symbole a(x, ξ) be-
u
schr¨nkte Regularit¨t in beiden Ver¨nderlichen x, ξ besitzen und die die in [Am,
97] und [Ki,03]
a a a
angegebenen Symbole enth¨lt. Durch eine Version der von R. Coifman und Y. Meyer in [C-
a
M,79] eingef¨hrten Zerlegung der Symbole in elementare Symbole und dank einiger Resul-
u
tate aus der Littlewood-Paley-Theorie erhalten wir einen Pseudodifferentialoperator a (x, D)
u r m,2ρ
f¨r Symbole a ∈ C∗ S1,δ (Rn , E) (r > 0, 0 ≤ δ ≤ 1, ρ ≥ 2l > n), f¨r den a (x, D) ∈u
L Bp,qs+m (Rn , E ) , B s (Rn , E ) gilt, wenn − (1 − δ) r < s < r. Mit anderen Worten ver-
2 p,q 0
allgemeinert dieses Resultat die Versionen des Satzes von Michlin in [Am,97;Th. 6.2] (falls
p, q ∈ [1, ∞)) und [Ki,03;Th. 2.3.1] (falls p ∈ [1, ∞] und q ∈ [1, ∞)).