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Authors: Brandt, Christian
Title: Partial reconstruction of the trajectories of a discretely observed branching diffusion with immigration and an application to inference
Online publication date: 2-Jun-2005
Language: english
Abstract: In this treatise we consider finite systems of branching particles where the particles move independently of each other according to d-dimensional diffusions. Particles are killed at a position dependent rate, leaving at their death position a random number of descendants according to a position dependent reproduction law. In addition particles immigrate at constant rate (one immigrant per immigration time). A process with above properties is called a branching diffusion withimmigration (BDI). In the first part we present the model in detail and discuss the properties of the BDI under our basic assumptions. In the second part we consider the problem of reconstruction of the trajectory of a BDI from discrete observations. We observe positions of the particles at discrete times; in particular we assume that we have no information about the pedigree of the particles. A natural question arises if we want to apply statistical procedures on the discrete observations: How can we find couples of particle positions which belong to the same particle? We give an easy to implement 'reconstruction scheme' which allows us to redraw or 'reconstruct' parts of the trajectory of the BDI with high accuracy. Moreover asymptotically the whole path can be reconstructed. Further we present simulations which show that our partial reconstruction rule is tractable in practice. In the third part we study how the partial reconstruction rule fits into statistical applications. As an extensive example we present a nonparametric estimator for the diffusion coefficient of a BDI where the particles move according to one-dimensional diffusions. This estimator is based on the Nadaraya-Watson estimator for the diffusion coefficient of one-dimensional diffusions and it uses the partial reconstruction rule developed in the second part above. We are able to prove a rate of convergence of this estimator and finally we present simulations which show that the estimator works well even if we leave our set of assumptions.
In der vorliegenden Arbeit werden endliche Systeme von verzweigenden Partikeln betrachtet, in denen sich die Partikel unabhängig voneinander gemäß d-dimensionaler Diffusionen bewegen. Partikel sterben mit einer ortsabhängigen Rate und hinterlassen in ihrem Sterbeort eine zufällige Anzahl von Nachkommen gemäß einer ortsabhängigen Reproduktionsverteilung. Zusätzlich immigrieren einzelne Partikel mit konstanter Rate. Ein Prozeß mit obigen Eigenschaften heißt verzweigende Diffusion mit Immigration (BDI). Im ersten Teil dieser Arbeit präsentieren wir das Modell im Detail und besprechen die Eigenschaften einer BDI unter unseren Grundannahmen. Im zweiten Teil betrachten wir das Problem der Rekonstruktion der Pfade einer BDI aus diskreten Beobachtungen. Wir beobachten Positionen der Partikel zu diskreten Zeiten; insbesondere nehmen wir an, dass wir keine Information über den Stammbaum der Partikel besitzen. In Hinblick auf statistische Anwendungen stellt sich auf natürliche Weise die folgende Frage: Wie können wir Paare von Partikelpositionen finden, die zu demselben Partikel gehören? Wir präsentieren einen einfach zu implementierenden Rekonstruktionsalgorithmus, mit dessen Hilfe wir Teile des Pfades der BDI mit großer Genauigkeit nachzeichnen, bzw. "rekonstruieren" können. Überdies können wir asymptotisch den kompletten Pfad rekonstruieren. Ferner präsentieren wir Simulationen, die die praktische Durchführbarkeit unserer partiellen Rekonstruktionsregel belegen. Im dritten Teil untersuchen wir, wie die partielle Rekonstruktionsregel in statistischen Anwedungen benutzt werden kann. Als extensives Beispiel präsentieren wir einen nichtparametrischen Schätzer für den Diffusionskoeffizienten einer BDI im Fall, dass die Partikel sich gemäß einer eindimensionalen Diffusion bewegen. Dieser Schätzer basiert auf dem Nadaraya-Watson-Schätzer für den Diffusionskoeffizienten einer eindimensionalen Diffusion und er benutzt die partielle Rekonstruktionsregel aus dem zweiten Teil dieser Arbeit. Wir beweisen eine Konvergenzrate für diesen Schätzer und zum Abschluss präsentieren wir Simulationen, die zeigen, dass der Schätzer in der Praxis zu sehr guten Resultaten führt.
DDC: 510 Mathematik
510 Mathematics
Institution: Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Department: FB 08 Physik, Mathematik u. Informatik
Place: Mainz
DOI: http://doi.org/10.25358/openscience-3806
Version: Original work
Publication type: Dissertation
License: in Copyright
Information on rights of use: https://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/
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