Authors:	Ditsche, Jochen Alexander
Title:	Pseudodifferential analysis in Psi*-algebras on transmission spaces, infinite solving ideal chains and K-theory for conformally compact spaces
Online publication date:	29-May-2008
Year of first publication:	2008
Language:	english
Abstract:	The present thesis is a contribution to the theory of algebras of pseudodifferential operators on singular settings. In particular, we focus on the $b$-calculus and the calculus on conformally compact spaces in the sense of Mazzeo and Melrose in connection with the notion of spectral invariant transmission operator algebras. We summarize results given by Gramsch et. al. on the construction of $Psi_0$-and $Psi*$-algebras and the corresponding scales of generalized Sobolev spaces using commutators of certain closed operators and derivations. In the case of a manifold with corners $Z$ we construct a $Psi*$-completion $A_b(Z,{}^bOmega^{1/2})$ of the algebra of zero order $b$-pseudodifferential operators $Psi_{b,cl}(Z, {}^bOmega^{1/2})$ in the corresponding $C*$-closure $B(Z,{}^bOmega^{12})hookrightarrow L(L^2(Z,{}^bOmega^{1/2}))$. The construction will also provide that localised to the (smooth) interior of Z the operators in the $A_b(Z, {}^bOmega^{1/2})$ can be represented as ordinary pseudodifferential operators. In connection with the notion of solvable $C*$-algebras - introduced by Dynin - we calculate the length of the $C*$-closure of $Psi_{b,cl}^0(F,{}^bOmega^{1/2},R^{E(F)})$ in $B(F,{}^bOmega^{1/2}),R^{E(F)})$ by localizing $B(Z, {}^bOmega^{1/2})$ along the boundary face $F$ using the (extended) indical familiy $I^B_{FZ}$. Moreover, we discuss how one can localise a certain solving ideal chain of $B(Z, {}^bOmega^{1/2})$ in neighbourhoods $U_p$ of arbitrary points $pin Z$. This localisation process will recover the singular structure of $U_p$; further, the induced length function $l_p$ is shown to be upper semi-continuous. We give construction methods for $Psi*$- and $C*$-algebras admitting only infinite long solving ideal chains. These algebras will first be realized as unconnected direct sums of (solvable) $C*$-algebras and then refined such that the resulting algebras have arcwise connected spaces of one dimensional representations. In addition, we recall the notion of transmission algebras on manifolds with corners $(Z_ i)_{iin N}$ following an idea of Ali Mehmeti, Gramsch et. al. Thereby, we connect the underlying $C^infty$-function spaces using point evaluations in the smooth parts of the $Z_i$ and use generalized Laplacians to generate an appropriate scale of Sobolev spaces. Moreover, it is possible to associate generalized (solving) ideal chains to these algebras, such that to every $ninN$ there exists an ideal chain of length $n$ within the algebra. Finally, we discuss the $K$-theory for algebras of pseudodifferential operators on conformally compact manifolds $X$ and give an index theorem for these operators. In addition, we prove that the Dirac-operator associated to the metric of a conformally compact manifold $X$ is not a Fredholm operator. Die vorliegende Arbeit ist ein Beitrag zur Theorie der Algebren von Pseudodifferentialoperatoren auf singulären Räumen. Hierbei konzentrieren wir uns insbesondere auf den β-Kalkül und den Kalkül auf konform kompakten Räumen im Sinne von Mazzeo und Melrose im Zusammenhang mit spektral invarianten Transmissions-Algebren. Wir fassen einige bekannte Resultate von Gramsch et. al. hinsichtlich der Konstruktion von $Psi_0$- und $Psi*$-Algebren und zugehörigen verallgemeinerten Skalen von Sobolev Räumen unter Verwendung von Kommutatormethoden zusammen. Für eine Mannigfaltigkeit mit Ecken $Z$ konstruieren wir eine $Psi*$-Vervollständigung $A_b(Z,{}^bOmega^{1/2})$ der Algebra $Psi^0_{b,cl}(Z,{}^bOmega^{1/2})$, d.h. der Algebra aller $b$-Pseudodifferentialoperatoren der Ordnung null, in ihrer zugehörigen $C*$-Abschließung $B(Z,{}^bOmega^{1/2})hookrightarrow L(L^2(Z,{}^bOmega^{1/2}))$)). Die Operatoren in $A_b(Z,{}^bOmega^{1/2})$ haben hierbei eine Darstellung als gewöhnliche Pseudodifferentialoperatoren sofern man sie im (glatten) Inneren von $Z$ lokalisiert. Wir berechnen die Länge der (auflösbaren) $C*$-Vervollständigung von $Psi^0_{b,cl}(F,{}^bOmega^{1/2}, R^{E(F)})$ in $B(F,{}^bOmega^{1/2}, R^{E(F)})$. Hierzu lokalisieren wir die (ebenfalls auflösbare) $C*$-Algebra $B(Z,{}^bOmega^{1/2}) an einer Randfläche $F$ unter Verwendung der "Indical familiy$ $I^B_{FZ}$ in $F$. Weiterhin zeigen wir, wie man eine spezielle Auflösungreihe von $B(Z, {}^bOmega^{1/2})$ in Umgebungen $U_p$ von beliebigen Punkten $pin Z$ lokalisieren kann. Es stellt sich heraus, dass die induzierte Längenfunktion $l_p$ die singuläre Struktur von $U_p$ misst und darüber hinaus noch oberhalb stetig ist. Ferner konstruieren wir $Psi*$- und $C*$-Algebren, die lediglich aulösende Idealketten von "unendlicher Länge" zulassen. Dies wird zuerst als (unverbundene) direkte Summe von auflösbaren $C*$-Algebren auf Mannigfaltigkeiten mit Ecken realisiert und dann so verfeinert, dass die resultierende Algebra einen bogenweise zusammenhängenden Raum eindimensionaler Darstellung hat. Weiterhin greifen wir eine Idee von Ali Mehmeti, Gramsch et. al. auf und geben die Definition von Transmissionsalgebren auf Familien $(Z_i)_{i inN}$ von Mannigfaltigkeiten mit Ecken. Hierfür verbinden wir den zugrunde liegenden Raum der $C^infty$-Funktionen mittels Punktevaluierung in den glatten Teilen der $Z_i$ und verwenden anschließend verallgemeinerte Laplace-Operatoren um geeignete Skalen von Sobolev-Räumen zu erzeugen. Die Konstruktion ermöglicht es ferner, diesen Algebren verallgemeinerte Auflösungsreihen von Idealen zuzuordnen, sodass zu jedem $ninN$ eine Idealketten in der Algebra existiert, die die Länge $n$ hat. Schließlich berechnen wir die $K$-Theorie von Algebren von Pseudodifferentialoperatoren auf konform kompakten Mannigfaltigkeiten $X$ und beweisen ein Indextheorem für diesen Kalkül. Darüber hinaus zeigen wir, dass der durch die Metrik einer konform kompakten Mannigfaltigkeit induzierte Diracoperatorn kein Fredholmoperator ist.
DDC:	510 Mathematik 510 Mathematics
Institution:	Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Department:	FB 08 Physik, Mathematik u. Informatik
Place:	Mainz
ROR:	https://ror.org/023b0x485
DOI:	http://doi.org/10.25358/openscience-2570
URN:	urn:nbn:de:hebis:77-16321
Version:	Original work
Publication type:	Dissertation
License:	In Copyright
Information on rights of use:	https://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/
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