Please use this identifier to cite or link to this item: http://doi.org/10.25358/openscience-1562
Authors: Bispen, Georgij
Title: IMEX finite volume methods for the shallow water equations
Online publication date: 30-Mar-2015
Year of first publication: 2015
Language: english
Abstract: Die Flachwassergleichungen (SWE) sind ein hyperbolisches System von Bilanzgleichungen, die adäquate Approximationen an groß-skalige Strömungen der Ozeane, Flüsse und der Atmosphäre liefern. Dabei werden Masse und Impuls erhalten. Wir unterscheiden zwei charakteristische Geschwindigkeiten: die Advektionsgeschwindigkeit, d.h. die Geschwindigkeit des Massentransports, und die Geschwindigkeit von Schwerewellen, d.h. die Geschwindigkeit der Oberflächenwellen, die Energie und Impuls tragen. Die Froude-Zahl ist eine Kennzahl und ist durch das Verhältnis der Referenzadvektionsgeschwindigkeit zu der Referenzgeschwindigkeit der Schwerewellen gegeben. Für die oben genannten Anwendungen ist sie typischerweise sehr klein, z.B. 0.01. Zeit-explizite Finite-Volume-Verfahren werden am öftersten zur numerischen Berechnung hyperbolischer Bilanzgleichungen benutzt. Daher muss die CFL-Stabilitätsbedingung eingehalten werden und das Zeitinkrement ist ungefähr proportional zu der Froude-Zahl. Deswegen entsteht bei kleinen Froude-Zahlen, etwa kleiner als 0.2, ein hoher Rechenaufwand. Ferner sind die numerischen Lösungen dissipativ. Es ist allgemein bekannt, dass die Lösungen der SWE gegen die Lösungen der Seegleichungen/ Froude-Zahl Null SWE für Froude-Zahl gegen Null konvergieren, falls adäquate Bedingungen erfüllt sind. In diesem Grenzwertprozess ändern die Gleichungen ihren Typ von hyperbolisch zu hyperbolisch.-elliptisch. Ferner kann bei kleinen Froude-Zahlen die Konvergenzordnung sinken oder das numerische Verfahren zusammenbrechen. Insbesondere wurde bei zeit-expliziten Verfahren falsches asymptotisches Verhalten (bzgl. der Froude-Zahl) beobachtet, das diese Effekte verursachen könnte.Ozeanographische und atmosphärische Strömungen sind typischerweise kleine Störungen eines unterliegenden Equilibriumzustandes. Wir möchten, dass numerische Verfahren für Bilanzgleichungen gewisse Equilibriumzustände exakt erhalten, sonst können künstliche Strömungen vom Verfahren erzeugt werden. Daher ist die Quelltermapproximation essentiell. Numerische Verfahren die Equilibriumzustände erhalten heißen ausbalanciert.\r\n\r\nIn der vorliegenden Arbeit spalten wir die SWE in einen steifen, linearen und einen nicht-steifen Teil, um die starke Einschränkung der Zeitschritte durch die CFL-Bedingung zu umgehen. Der steife Teil wird implizit und der nicht-steife explizit approximiert. Dazu verwenden wir IMEX (implicit-explicit) Runge-Kutta und IMEX Mehrschritt-Zeitdiskretisierungen. Die Raumdiskretisierung erfolgt mittels der Finite-Volumen-Methode. Der steife Teil wird mit Hilfe von finiter Differenzen oder au eine acht mehrdimensional Art und Weise approximniert. Zur mehrdimensionalen Approximation verwenden wir approximative Evolutionsoperatoren, die alle unendlich viele Informationsausbreitungsrichtungen berücksichtigen. Die expliziten Terme werden mit gewöhnlichen numerischen Flüssen approximiert. Daher erhalten wir eine Stabilitätsbedingung analog zu einer rein advektiven Strömung, d.h. das Zeitinkrement vergrößert um den Faktor Kehrwert der Froude-Zahl. Die in dieser Arbeit hergeleiteten Verfahren sind asymptotisch erhaltend und ausbalanciert. Die asymptotischer Erhaltung stellt sicher, dass numerische Lösung das \"korrekte\" asymptotische Verhalten bezüglich kleiner Froude-Zahlen besitzt. Wir präsentieren Verfahren erster und zweiter Ordnung. Numerische Resultate bestätigen die Konvergenzordnung, so wie Stabilität, Ausbalanciertheit und die asymptotische Erhaltung. Insbesondere beobachten wir bei machen Verfahren, dass die Konvergenzordnung fast unabhängig von der Froude-Zahl ist.
The shallow water equations (SWE) belong to the class of hyperbolic systems of partial differential \r\nequations (balance laws) that \r\nprovide suitable approximations to the large-scale motion of oceans, rivers and the atmosphere. \r\nThereby mass and momentum are conserved. We distinguish two characteristic velocities:\r\nthe advection velocity, i.e. the velocity of mass transport, and\r\nthe gravity wave speed, i.e. the velocity of surface waves, which carry energy and \r\nmomentum. The Froude number is a reference number and is given by the fraction of the \r\nadvection and the gravity waves reference velocity. It is typically very small for the above \r\napplications, e.g. $0.01$. \r\n\r\n\r\nTime-explicit finite volume methods belong to the most frequently used numerical schemes to solve \r\nhyperbolic balance laws. Consequently, we have to respect the CFL stability condition and the time \r\nincrement is approximately proportional to the Froude number. Thus, low Froude numbers, say below \r\n$0.2$, lead to very small time steps and result in high computational costs and dissipative \r\nsolutions. \r\n\r\n\r\nIt is well-known that solutions of the SWE converge to \r\nsolutions of the lake equations/ zero Froude number SWE as the Froude number approaches \r\nzero, if suitable conditions are provided. In this limiting process, the \r\nequations change their type from hyperbolic to mixed hyperbolic-elliptic. \r\nMoreover, for small Froude numbers the convergence order of standard numerical schemes \r\nmay decrease or even the numerical solution may break down. In particular, time-explicit schemes \r\nhave been observed to provide wrong asymptotic behaviour (with respect to the Froude number) in the \r\nlow Froude number regime and may cause these effects. \r\n\r\nOceanographic and atmospheric flows are typically small perturbations of an underlying \r\nequilibrium state. It is desirable that numerical schemes for balance laws have to preserve \r\ncertain equilibrium states exactly, otherwise spurious motion may occur. Thus, the approximation of \r\nsource terms is crucial. Numerical schemes that preserve equilibrium states are called well-balanced.\r\n\r\nIn the present thesis we split the SWE into a stiff, linear part and a non-stiff one in order to \r\ncircumvent the strong time step restriction from the CFL-condition. The stiff part is treated \r\nimplicitly, while the non-stiff terms are approximated explicitly. To this end we apply IMEX \r\n(implicit-explicit) Runge-Kutta and IMEX multi-step time-discretisations. The space-discretisation \r\nuses finite volumes. The stiff part is approximated by means of central finite differences or in a \r\ngenuinely multidimensional way. The multidimensional approximation is obtained by approximate \r\nevolution operators, that take all infinitely many directions of wave propagation into account. The \r\nexplicit terms are approximated by standard numerical fluxes. Consequently, we obtain a stability \r\nconstrain \r\nanalogously to one of a purely advective flow, i.e.~the time steps increase approximately by the \r\nfactor of the Froude numbers inverse. The methods developed in this thesis are \r\nasymptotic preserving and well-balanced, where the asymptotic preserving property ensures that the \r\nnumerical solutions have the \"correct\" asymptotic behaviour with respect to low Froude numbers. \r\nWe present first and second order schemes. Numerical tests confirm first and second order \r\nconvergence rates as well as stability, well-balanced and asymptotic preserving property. In \r\nparticular, some schemes show almost uniform convergence rates with respect to the Froude number.
DDC: 510 Mathematik
510 Mathematics
Institution: Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Department: FB 08 Physik, Mathematik u. Informatik
Place: Mainz
ROR: https://ror.org/023b0x485
DOI: http://doi.org/10.25358/openscience-1562
URN: urn:nbn:de:hebis:77-39911
Version: Original work
Publication type: Dissertation
License: In Copyright
Information on rights of use: https://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/
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