Konstruktion symmetrischer Designs

Abstract

In dieser Arbeit werden zehn neue symmetrische (176,50,14) Designs und ein neues symmetrisches (144,66,30) Design durch Vorgabe von nichtauflösbaren Automorphismengruppen konstruiert. Im Jahre 1969 entdeckte G. Higman ein symmetrisches (176,50,14) Design, dessen volle Automorphismengruppe die sporadische einfache Gruppe HS der Ordnung 44.352.000 ist. Hier wurden nun Designs gesucht, die eine Untergruppe von HS zulassen. Folgende Untergruppen wurden betrachtet: die transitive und die intransitive Erweiterung einer elementarabelschen Gruppe der Ordnung 16 durch Alt(5), AGL(3,2), das direkte Produkt einer zyklischen Gruppe der Ordnung 5 mit Alt(5) und PSL(2,11). Die transitive Erweiterung von E(16) durch Alt(5) lieferte zwei neue Designs mit Automorphismengruppen der Ordnungen 960 bzw. 11.520; letzteres konnte auch mit der transitiven Erweiterung erhalten werden. Die Gruppe PSL(2,11) operiert auf den Punkten des Higman-Designs in drei Bahnen; sucht man nach symmetrischen (176,50,14) Designs, auf denen diese Gruppe in zwei Bahnen operiert, so erhält man acht neue Designs. Die übrigen Gruppen lieferten keine neuen Designs. Schließlich konnte ein neues symmetrisches (144,66,30) Design unter Verwendung der sporadischen Mathieu-Gruppe M(12) konstruiert werden. Dies war zu diesem Zeitpunkt außer dem Higman-Design das einzige bekannte symmetrische Design, dessen volle Automorphismengruppe im Wesentlichen eine sporadische einfache Gruppe ist.

In this thesis ten new symmetric (176,50,14) designs and one new symmetric (144,66,30) design are constructed by prescribing non-solvable automorphism groups. In the year 1969 G. Higman found a symmetric (176,50,14) design whose full automorphism group is the sporadic simple group HS of order 44,352,000. Here we look for designs admitting a subgroup of HS. The following subgroups were used: the transitive and the intransitive extension of an elementary abelian group of order 16 by Alt(5), AGL(3,2) the direct product of a cyclic group of order 5 with Alt(5) and PSL(2,11). The transitive extension of E(16) by Alt(5) gave rise to two new designs with full automorphism groups of orders 960 and 11,520; the latter one could also be constructed using the intransitive extension. The group PSL(2,11) acts on the points of the Higman-design in three orbits; looking for symmetric (176,50,14) designs admitting a two-orbit-action of this group, one gets eight new designs. The other groups didn't give rise to new designs. Using the sporadic Mathieu group M(12), a new symmetric (144,66,30) design could be constructed. At this time this was the only known symmetric design (except the Higman-design) whose full group of automorphisms is - up to extensions - a sporadic simple group.