Picard-Fuchs equations of dimensionally regulated Feynman integrals

Abstract

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit beschäftige ich mich mit Differentialgleichungen von Feynmanâ Integralen. Ein Feynmanâ Integral hängt von einem Dimensionsparameter D ab und kann für ganzzahlige Dimension als projektives Integral dargestellt werden. Dies ist die sogenannte Feynmanâ Parameter Darstellung. In Abhängigkeit der Dimension kann ein solches Integral divergieren. Als Funktion in D erhält man eine meromorphe Funktion auf ganz C. Ein divergentes Integral kann also durch eine Laurentâ Reihe ersetzt werden und dessen Koeffizienten rücken in das Zentrum des Interesses. Diese Vorgehensweise wird als dimensionale Regularisierung bezeichnet. Alle Terme einer solchen Laurentâ Reihe eines Feynmanâ Integrals sind Perioden im Sinne von Kontsevich und Zagier. Ich beschreibe eine neue Methode zur Berechnung von Differentialgleichungen von Feynmanâ Integralen. ¨ Ublicherweise verwendet man hierzu die sogenannten â integration by partsâ (IBP)â Identitäten. Die neue Methode verwendet die Theorie der Picardâ Fuchsâ Differentialgleichungen. Im Falle projektiver oder quasiâ projektiver Varietäten basiert die Berechnung einer solchen Differentialgleichung auf der sogenannten Griffithsâ Dworkâ Reduktion. Zunächst beschreibe ich die Methode für feste, ganzzahlige Dimension. Nach geeigneter Verschiebung der Dimension erhält man direkt eine Periode und somit eine Picardâ Fuchsâ Differentialgleichung. Diese ist inhomogen, da das Integrationsgebiet einen Rand besitzt und daher nur einen relativen Zykel darstellt. Mit Hilfe von dimensionalen Rekurrenzrelationen, die auf Tarasov zurückgehen, kann in einem zweiten Schritt die Lösung in der ursprünglichen Dimension bestimmt werden. Ich beschreibe außerdem eine Methode, die auf der Griffithsâ Dworkâ Reduktion basiert, um die Differentialgleichung direkt für beliebige Dimension zu berechnen. Diese Methode ist allgemein gültig und erspart Dimensionswechsel. Ein Erfolg der Methode hängt von der Möglichkeit ab, große Systeme von linearen Gleichungen zu lösen. Ich gebe Beispiele von Integralen von Graphen mit zwei und drei Schleifen. Tarasov gibt eine Basis von Integralen an, die Graphen mit zwei Schleifen und zwei externen Kanten bestimmen. Ich bestimme Differentialgleichungen der Integrale dieser Basis. Als wichtigstes Beispiel berechne ich die Differentialgleichung des sogenannten Sunriseâ Graphen mit zwei Schleifen im allgemeinen Fall beliebiger Massen. Diese ist für spezielle Werte von D eine inhomogene Picardâ Fuchsâ Gleichung einer Familie elliptischer Kurven. Der Sunriseâ Graph ist besonders interessant, weil eine analytische Lösung erst mit dieser Methode gefunden werden konnte, und weil dies der einfachste Graph ist, dessen Masterâ Integrale nicht durch Polylogarithmen gegeben sind. Ich gebe außerdem ein Beispiel eines Graphen mit drei Schleifen. Hier taucht die Picardâ Fuchsâ Gleichung einer Familie von K3â Flächen auf.

Abstract This thesis is devoted to studying differential equations of Feynman integrals. A Feynman integral depends on a dimension D. For integer values of D it can be written as a projective integral, which is called the Feynman parameter prescription. A major complication arises from the fact that for some values of D the integral can diverge. This problem is solved within dimensional regularization by continuing the integral as a meromorphic function on the complex plane and replacing the illâ defined quantity by a Laurent series in a dimensional regularization parameter. All terms in such a Laurent expansion are periods in the sense of Kontsevich and Zagier. We describe a new method to compute differential equations of Feynman integrals. So far, the standard has been to use integrationâ byâ parts (IBP) identities to obtain coupled systems of linear differential equations for the master integrals. Our method is based on the theory of Picardâ Fuchs equations. In the case we are interested in, that of projective and quasiprojective families, a Picardâ Fuchs equation can be computed by means of the Griffithsâ Dwork reduction. We describe a method that is designed for fixed integer dimension. After a suitable integer shift of dimension we obtain a period of a family of hypersurfaces, hence a Picardâ Fuchs equation. This equation is inhomogeneous because the domain of integration has a boundary and we only obtain a relative cycle. As a second step we shift back the dimension using Tarasov- generalized dimensional recurrence relations. Furthermore, we describe a method to directly compute the differential equation for general D without shifting the dimension. This is based on the Griffithsâ Dwork reduction. The success of this method depends on the ability to solve large systems of linear equations. We give examples of two and threeâ loop graphs. Tarasov classifies twoâ loop twoâ point functions and we give differential equations for these. For us the most interesting example is the twoâ loop sunrise integral with arbitrary fixed masses and varying momentum. It was previously known not to evaluate to multiple polylogarithms, but an analytic answer could not be obtained. Its geometric and number theoretic content is governed by a family of elliptic curves. We provide an inhomogeneous Picardâ Fuchs equation which in the meantime lead to an analytic answer of the twoâ loop sunrise integral. We give a threeâ loop example where we find a family of K3â surfaces.