Picard-Fuchs equations of dimensionally regulated Feynman integrals

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Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit beschäftige ich mich mit Differentialgleichungen von Feynmanâ Integralen. Ein Feynmanâ Integral hängt von einem Dimensionsparameter D ab und kann für ganzzahlige Dimension als projektives Integral dargestellt werden. Dies ist die sogenannte Feynmanâ Parameter Darstellung. In Abhängigkeit der Dimension kann ein solches Integral divergieren. Als Funktion in D erhält man eine meromorphe Funktion auf ganz C. Ein divergentes Integral kann also durch eine Laurentâ Reihe ersetzt werden und dessen Koeffizienten rücken in das Zentrum des Interesses. Diese Vorgehensweise wird als dimensionale Regularisierung bezeichnet. Alle Terme einer solchen Laurentâ Reihe eines Feynmanâ Integrals sind Perioden im Sinne von Kontsevich und Zagier. Ich beschreibe eine neue Methode zur Berechnung von Differentialgleichungen von Feynmanâ Integralen. ¨ Ublicherweise verwendet man hierzu die sogenannten â integration by partsâ (IBP)â Identitäten. Die neue Methode verwendet die Theorie der Picardâ Fuchsâ Differentialgleichungen. Im Falle projektiver oder quasiâ projektiver Varietäten basiert die Berechnung einer solchen Differentialgleichung auf der sogenannten Griffithsâ Dworkâ Reduktion. Zunächst beschreibe ich die Methode für feste, ganzzahlige Dimension. Nach geeigneter Verschiebung der Dimension erhält man direkt eine Periode und somit eine Picardâ Fuchsâ Differentialgleichung. Diese ist inhomogen, da das Integrationsgebiet einen Rand besitzt und daher nur einen relativen Zykel darstellt. Mit Hilfe von dimensionalen Rekurrenzrelationen, die auf Tarasov zurückgehen, kann in einem zweiten Schritt die Lösung in der ursprünglichen Dimension bestimmt werden. Ich beschreibe außerdem eine Methode, die auf der Griffithsâ Dworkâ Reduktion basiert, um die Differentialgleichung direkt für beliebige Dimension zu berechnen. Diese Methode ist allgemein gültig und erspart Dimensionswechsel. Ein Erfolg der Methode hängt von der Möglichkeit ab, große Systeme von linearen Gleichungen zu lösen. Ich gebe Beispiele von Integralen von Graphen mit zwei und drei Schleifen. Tarasov gibt eine Basis von Integralen an, die Graphen mit zwei Schleifen und zwei externen Kanten bestimmen. Ich bestimme Differentialgleichungen der Integrale dieser Basis. Als wichtigstes Beispiel berechne ich die Differentialgleichung des sogenannten Sunriseâ Graphen mit zwei Schleifen im allgemeinen Fall beliebiger Massen. Diese ist für spezielle Werte von D eine inhomogene Picardâ Fuchsâ Gleichung einer Familie elliptischer Kurven. Der Sunriseâ Graph ist besonders interessant, weil eine analytische Lösung erst mit dieser Methode gefunden werden konnte, und weil dies der einfachste Graph ist, dessen Masterâ Integrale nicht durch Polylogarithmen gegeben sind. Ich gebe außerdem ein Beispiel eines Graphen mit drei Schleifen. Hier taucht die Picardâ Fuchsâ Gleichung einer Familie von K3â Flächen auf.

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