Picard-Fuchs equations of dimensionally regulated Feynman integrals
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Abstract
Zusammenfassung
In der vorliegenden Arbeit beschäftige ich mich mit Differentialgleichungen von Feynmanâ
Integralen. Ein Feynmanâ Integral hängt von einem Dimensionsparameter D ab und kann für
ganzzahlige Dimension als projektives Integral dargestellt werden. Dies ist die sogenannte
Feynmanâ Parameter Darstellung. In Abhängigkeit der Dimension kann ein solches Integral divergieren.
Als Funktion in D erhält man eine meromorphe Funktion auf ganz C. Ein divergentes
Integral kann also durch eine Laurentâ Reihe ersetzt werden und dessen Koeffizienten rücken in
das Zentrum des Interesses. Diese Vorgehensweise wird als dimensionale Regularisierung bezeichnet.
Alle Terme einer solchen Laurentâ Reihe eines Feynmanâ Integrals sind Perioden im
Sinne von Kontsevich und Zagier.
Ich beschreibe eine neue Methode zur Berechnung von Differentialgleichungen von Feynmanâ
Integralen. ¨ Ublicherweise verwendet man hierzu die sogenannten â integration by partsâ (IBP)â
Identitäten. Die neue Methode verwendet die Theorie der Picardâ Fuchsâ Differentialgleichungen.
Im Falle projektiver oder quasiâ projektiver Varietäten basiert die Berechnung einer solchen Differentialgleichung
auf der sogenannten Griffithsâ Dworkâ Reduktion.
Zunächst beschreibe ich die Methode für feste, ganzzahlige Dimension. Nach geeigneter Verschiebung
der Dimension erhält man direkt eine Periode und somit eine Picardâ Fuchsâ Differentialgleichung.
Diese ist inhomogen, da das Integrationsgebiet einen Rand besitzt und daher
nur einen relativen Zykel darstellt. Mit Hilfe von dimensionalen Rekurrenzrelationen, die auf
Tarasov zurückgehen, kann in einem zweiten Schritt die Lösung in der ursprünglichen Dimension
bestimmt werden.
Ich beschreibe außerdem eine Methode, die auf der Griffithsâ Dworkâ Reduktion basiert, um die
Differentialgleichung direkt für beliebige Dimension zu berechnen. Diese Methode ist allgemein
gültig und erspart Dimensionswechsel. Ein Erfolg der Methode hängt von der Möglichkeit ab,
große Systeme von linearen Gleichungen zu lösen.
Ich gebe Beispiele von Integralen von Graphen mit zwei und drei Schleifen. Tarasov gibt eine Basis
von Integralen an, die Graphen mit zwei Schleifen und zwei externen Kanten bestimmen. Ich
bestimme Differentialgleichungen der Integrale dieser Basis. Als wichtigstes Beispiel berechne ich
die Differentialgleichung des sogenannten Sunriseâ Graphen mit zwei Schleifen im allgemeinen Fall
beliebiger Massen. Diese ist für spezielle Werte von D eine inhomogene Picardâ Fuchsâ Gleichung
einer Familie elliptischer Kurven. Der Sunriseâ Graph ist besonders interessant, weil eine analytische
Lösung erst mit dieser Methode gefunden werden konnte, und weil dies der einfachste
Graph ist, dessen Masterâ Integrale nicht durch Polylogarithmen gegeben sind. Ich gebe außerdem
ein Beispiel eines Graphen mit drei Schleifen. Hier taucht die Picardâ Fuchsâ Gleichung einer
Familie von K3â Flächen auf.