A Lanczos-based method for computing Ornstein-Uhlenbeck representations for the generalized langevin equation

Abstract

The generalized Langevin equation describes the velocity of a macromolecule via the convolution of the history of its velocity and a memory kernel. It employs the coarse graining approach of only simulating the macromolecule's velocity explicitly while collisions with other particles are modeled via a random force process. If the memory is a Prony series, it can be represented by an Ornstein-Uhlenbeck process by introducing auxiliary variables.

We are interested in the inverse problem, which consists in determining a good approximation of the memory kernel given the covariance function of the velocity. We present a new method for solving this problem. Instead of first approximating the memory kernel in order to determine a suitable Prony series and an Ornstein-Uhlenbeck process approximation, this method directly yields an Ornstein-Uhlenbeck process which approximates the given velocity covariance function. It is based on a variant of the (multi-dimensional) Lanczos algorithm followed by several post-processing steps and can also be applied to the multi-dimensional generalized Langevin equation.

We test this method using data from molecular dynamics simulations. For the one-dimensional case we introduce an extension of the algorithm for the setting where the macromolecule is subject to an additional constant external force.

Die verallgemeinerte Langevin-Gleichung beschreibt die Geschwindigkeit eines Makromoleküls mithilfe der Faltung des Verlaufs der Geschwindigkeit mit einem Gedächtniskern. Sie verwendet einen "coarse graining" genannten Ansatz, indem nur die Geschwindigkeit des Makromoleküls explizit simuliert wird, während Kollisionen mit anderen Partikeln durch einen stochastischen Prozess für die Kraft dargestellt werden. Wenn der Gedächtniskern eine Prony-Reihe ist, kann man Hilfsvariablen einführen, um sie durch einen Ornstein-Uhlenbeck-Prozess darzustellen.

Wir interessieren uns für das inverse Problem, welches darin besteht, zu einer gegebenen Kovarianzfunktion der Geschwindigkeit eine gute Approximation des Gedächtniskerns zu bestimmen. Wir stellen eine neue Methode zur Lösung dieses Problems vor. Anstatt zuerst den Gedächtniskern zu approximieren, um anschließend eine geeignete Prony-Reihe und eine Approximation durch einen Ornstein-Uhlenbeck-Prozess zu bestimmen, konstruiert diese Methode direkt einen Ornstein-Uhlenbeck-Prozess, der die gegebene Kovarianzfunktion approximiert. Sie basiert auf einer Variante des (mehrdimensionalen) Lanczos-Algorithmus, gefolgt von mehreren weiteren Schritten, und kann auch auf die mehrdimensionale verallgemeinerte Langevin-Gleichung angewendet werden.

Wir testen diese Methode mit Daten aus Molekulardynamik-Simulationen. Für den eindimensionalen Fall führen wir eine Erweiterung des Algorithmus für die Situation ein, in der das Makromolekül von einer zusätzlichen konstanten externen Kraft beeinflusst wird.