Lagrangian Fibrations with designed singular fibres

Abstract

We study Lagrangian Fibrations with designed singular fibers. The idea is to construct a K3 surface X as a minimal resolution of the singularities of a double cover Y of the plane branched along a reduced but possibly reducible singular sextic Σ. Moreover, we assume that Σ has at worst A-D-E singularities. This freeness of choosing Σ allows us to construct many examples of singular fibres with various singularities. We find an explicit description of the singular fibers of the Lagrangian Fibrations f : M_X(0,2H,χ) → |2H|. The results shed also some light on the correlation between the degree of the discriminant divisor ∆ and the topology of the corresponding moduli space.

Wir studieren Lagrangefaserungen mit vorgegebenen singulaeren Fasern. Die Idee besteht darin, eine K3-Flaeche X als minimale Aufloesung von Singularitaeten einer 2 : 1 Ueberlagerung zu konstruieren, die entlang einer reduzierten, aber moeglicherweise reduziblen singulaeren Sextik Σ verzweigt ist. Außerdem nehmen wir an, dass Σ hoechstens A-D-E Singularitaeten besitzt. Diese Freiheit bei der Wahl von Σ erlaubt es uns, viele Beispiele von singulaeren Fasern mit verschiedenen Singularitaeten zu konstruieren. Wir finden eine explizite Beschreibung der singulaeren Fasern der Lagrangefaserung f : M_X(0,2H,χ) → |2H|. Die Ergebnisse beleuchten die Korrelation zwischen dem Grad des Diskriminantendivisors ∆ und der Topologie des zugrundeliegenden Modulraumes.