Verzweigung periodischer Lösungen bei rein nichtlinearen Differentialgleichungssystemen in der Ebene

Abstract

Zusammenfassung:In dieser Arbeit werden die Abzweigung stationärer Punkte und periodischer Lösungen von isolierten stationären Punkten rein nichtlinearer Differentialgleichungen in der reellenEbene betrachtet.Das erste Kapitel enthält einige technische Hilfsmittel, während im zweiten ausführlich das Verhalten von Differentialgleichungen in der Ebene mit zwei homogenen Polynomen gleichen Grades als rechter Seite diskutiert wird.Im dritten Kapitel beginnt der Hauptteil der Arbeit. Hier wird eine Verallgemeinerung des Hopf'schen Verzweigungssatzes bewiesen, der den klassischen Satz als Spezialfall enthält.Im vierten Kapitel untersuchen wir die Abzweigung stationärer Punkte und im letzten Kapitel die Abzweigung periodischer Lösungen unter Störungen, deren Ordnung echt kleiner ist, als die erste nichtverschwindende Näherung der ungestörten Gleichung.Alle Voraussetzungen in dieser Arbeit sind leicht nachzurechnen und es werden zahlreiche Beispiele ausführlich diskutiert.

Abstract:In this work we examine the bifurcation of stationary points and periodic solutions from isolated stationary points under disturbances of purely nonlinear autonomous differential equations in the real plane.The first chapter contains some lemmata, necessary and useful for the following four chapters.In the second chapter the behavior of differential equations in the real plane with two homogeneous polynoms of same degree as right side is discussed. The main part of this work starts in the third chapter, where a generalization of the famous bifurcation theorem of E. Hopf is shown, which contains the classical result as a special case.In the fourth chapter we analyze the bifurcation of stationary points and in the last chapter the bifurcation of periodic solutions under disturbances, the order of which isreally less than the first nonvanishing terms of the undisturbed equation.All conditions in the propositions of our theorems are easy to calculate and a lot of explicit examples are given in detail.