Parameterschätzung in zeitdiskreten ergodischen Markov-Prozessen am Beispiel des Cox-Ingersoll-Ross-Modells

Abstract

In dieser Arbeit geht es um die Schätzung von Parametern in zeitdiskreten ergodischen Markov-Prozessen im allgemeinen und im CIR-Modell im besonderen. Beim CIR-Modell handelt es sich um eine stochastische Differentialgleichung, die von Cox, Ingersoll und Ross (1985) zur Beschreibung der Dynamik von Zinsraten vorgeschlagen wurde. Problemstellung ist die Schätzung der Parameter des Drift- und des Diffusionskoeffizienten aufgrund von äquidistanten diskreten Beobachtungen des CIR-Prozesses. Nach einer kurzen Einführung in das CIR-Modell verwenden wir die insbesondere von Bibby und Sørensen untersuchte Methode der Martingal-Schätzfunktionen und -Schätzgleichungen, um das Problem der Parameterschätzung in ergodischen Markov-Prozessen zunächst ganz allgemein zu untersuchen. Im Anschluss an Untersuchungen von Sørensen (1999) werden hinreichende Bedingungen (im Sinne von Regularitätsvoraussetzungen an die Schätzfunktion) für die Existenz, starke Konsistenz und asymptotische Normalität von Lösungen einer Martingal-Schätzgleichung angegeben. Angewandt auf den Spezialfall der Likelihood-Schätzung stellen diese Bedingungen zugleich lokal-asymptotische Normalität des Modells sicher. Ferner wird ein einfaches Kriterium für Godambe-Heyde-Optimalität von Schätzfunktionen angegeben und skizziert, wie dies in wichtigen Spezialfällen zur expliziten Konstruktion optimaler Schätzfunktionen verwendet werden kann. Die allgemeinen Resultate werden anschließend auf das diskretisierte CIR-Modell angewendet. Wir analysieren einige von Overbeck und Rydén (1997) vorgeschlagene Schätzer für den Drift- und den Diffusionskoeffizienten, welche als Lösungen quadratischer Martingal-Schätzfunktionen definiert sind, und berechnen das optimale Element in dieser Klasse. Abschließend verallgemeinern wir Ergebnisse von Overbeck und Rydén (1997), indem wir die Existenz einer stark konsistenten und asymptotisch normalen Lösung der Likelihood-Gleichung zeigen und lokal-asymptotische Normalität für das CIR-Modell ohne Einschränkungen an den Parameterraum beweisen.

This work deals with the estimation of parameters in time-discrete ergodic Markov processes. We are particularly interested in the CIR model, a stochastic differential equation originally proposed by Cox, Ingersoll and Ross (1985) to describe the dynamic of interest rates. The problem consists in estimating the drift and diffusion coefficient from equidistant, discrete observations of the CIR process. After giving a brief introduction to the CIR model, we study the problem of parameter estimation in ergodic Markov processes in a general context, utilizing the martingale estimating functions approach which was particularly explored by Bibby and Sørensen. Following ideas of Sørensen (1999), sufficient conditions for the existence, strong consistency and asymptotic normality of solutions of martingale estimating equations are given in terms of regularity assumptions for the estimating function. Specializing to the case of likelihood estimation, the same conditions ensure local asymptotic normality of the model as well. Furthermore we give a simple condition for Godambe-Heyde-optimality of estimating functions which enables us to explicitly construct optimal estimating functions in certain special cases. The general results are then applied to the discretized CIR model. We analyze several estimators for the drift and the diffusion coefficient (proposed by Overbeck and Rydén (1997)), which are defined as solutions of quadratic martingale estimating functions, and compute the optimal element in this class. Generalizing results of Overbeck and Rydén (1997), we show the existence of a strongly consistent and asymptotically normal solution of the likelihood equation and prove local asymptotic normality for the CIR model without restrictions on the parameter space.