Integrable systems and a moduli space for (1,6)-polarised abelian surfaces

Abstract

A Hamiltonian system is a type of differential equation used in physics to describe the evolution of a mechanical system like a particle in a potential. Certain particularly well-behaved Hamiltonian systems are called integrable. For us an integrable system on C^(2n) is simply a set of n independent Poisson-commuting polynomials in 2n variables. In case the system is algebraically completely integrable the fibres of the induced map are affine parts of abelian varieties. In this thesis we study a projective model for the moduli-space of embedded (1,6)-polarised abelian surfaces first described by Gross and Popescu. We analyse its discriminant locus, the degenerations occurring, the form of the equations describing each surface and the automorphisms of this moduli space. In the last chapter we compute the cohomology of some quasi-homogeneous integrable systems on C^4.

Ein Hamiltonsches System ist ein Typ von Differentialgleichung, der in der Physik benutzt wird um mechanische Systeme, wie zum Beispiel eine Punktmasse in einem Potential, zu beschreiben. Eine bestimmte Klasse Hamiltonscher Systeme, die sich besonders gut verhält, heißt integrabel. Für uns ist ein integrables System auf C^(2n) einfach eine Menge von n unabhängigen Poisson-kommutierenden Polynomen in 2n Variablen. Im Fall dass das System algebraisch vollständig integrabel ist, sind die Fasern der induzierten Abbildung affine Teile von abelschen Varietäten. In dieser Arbeit untersuchen wir ein projektives Model für den Modulraum von eingebetteten (1,6)-polarisierten abelschen Flächen, der erstmals von Gross und Popescu beschrieben wurde. Wir analysieren seine Diskriminante, die auftretenden Entartungen, die Form der Gleichungen, die jede Fläche beschreiben, und die Automorphismen dieses Modulraums. Im letzten Kapitel berechnen wir die Kohomologie einiger quasi-homogener integrabler Systeme auf C^4.