Long-range voter model on the real line

Abstract

In the classical voter model on the integer lattice, a voter with one of two opinions is placed at each location on the lattice. Each voter has an alarm clock set to an exponentially distributed random time. When the clock rings, the voter adopts the opinion of a randomly chosen neighbour and the clock is set at a new random time. This process satisfies a moment duality with a system of coalescing random walks. Here we are interested in the situation with an uncountable number of voters, placed at each point of the real line. We allow them to adopt opinions of other voters that are far away. Specifically, we describe a measure valued process satisfying a moment duality relation with a coalescing system of symmetric α-stable processes, where α ∈ (1, 2). Such a process was constructed by Steven N. Evans in 1997. In this thesis we discuss the Hausdorff dimension of the interface between opinions, the survival probability at a given time point and the dimension of the time points where the support is unbounded in a simplified model. Furthermore, we show that the process arises as limit of solutions of a stochastic partial differential equation with accelerated noise.

Im Wähler-Modell auf den ganzen Zahlen wird an jedem Gitterpunkt ein Wähler mit einer von zwei Meinungen platziert. Jeder Wähler hat einen Wecker, der nach einer zufälligen exponentialverteilten Zeit klingelt. Wenn der Wecker klingelt, übernimmt der jeweilige Wähler die Meinung eines zufällig ausgewählten Nachbarn und der Wecker wird auf eine neue zufällige Zeit gestellt. Dieser Prozess erfüllt eine Momenten-Dualität mit verschmelzenden Irrfahrten. Hier sind wir an der Situation interessiert, in der überabzählbar viele Wähler auf der reellen Achse platziert werden. Wir erlauben ihnen auch Meinungen von anderen Wählern zu übernehmen, die weit entfernt sind. Konkret beschreiben wir einen maßwertigen Prozess, der eine Momenten-Dualität mit verschmelzenden α-stabilen Prozessen erfüllt, wobei α ∈ (1, 2). Solch ein Prozess wurde 1997 von Steven N. Evans konstruiert. In dieser Arbeit diskutieren wir die Hausdorff-Dimension des Interfaces zwischen den Meinungen, die Überlebenswahrscheinlichkeit zu einem festen Zeitpunkt und in einem vereinfachten Modell die Dimension der Ausnahmezeitpunkte, zu denen der Träger unbeschränkt ist. Außerdem zeigen wir, dass man den Prozess als Limes einer Lösung einer stochastischen partiellen Differentialgleichung mit beschleunigtem Rauschen konstruieren kann.