Authors:	Buring, Ricardo Thomas
Advisor:	Kiselev, Arthemy van Straten, Duco
Title:	The action of Kontsevich's graph complex on Poisson structures and star products: an implementation
Online publication date:	20-Jul-2023
Year of first publication:	2023
Language:	english
Abstract:	Poisson brackets emerge whenever the pointwise product of scalar functions on an affine manifold is deformed in such a way that it stays associative. Kontsevich proved the converse: a universal formula assigns such an associative deformation to every Poisson bracket. Likewise, Poisson brackets can be deformed by universal formulae. In both constructions, the universal formulas are built by using graphs. To handle the thousands of graphs, we develop and present the software package gcaops (Graph Complex Action on Poisson Structures) for SageMath. Using this package, - we expand Kontsevich's star-product up to o(h^4); - we assemble ★ mod o(h^6) from external data by Banks-Panzer-Pym and we obtain the star product mod o(h^7) for affine Poisson brackets; - we verify that graph weights found by Banks-Panzer-Pym up to o(h^6) satisfy many known relations; - we illustrate the explicit proof of the associativity for the full star product modulo o(h^6) and for the affine star product modulo o(h^7); - we find new explicit formulas of graph cocycles and universal Poisson cocycles, and - we prove the factorization of the Poisson cocycle condition via the Jacobi identity in each case. Poisson-Klammern treten auf, wenn das punktweise Produkt von Skalarfunktionen auf einer affinen Mannigfaltigkeit so deformiert wird, dass es assoziativ bleibt. Kontsevich bewies das Gegenteil: eine universelle Formel ordnet jeder Poisson-Klammer eine solche assoziative Deformation zu. Ebenso können Poisson-Klammern durch universelle Formeln deformiert werden. In beiden Konstruktionen werden die universellen Formeln mit Hilfe von Graphen gebildet. Um die Tausende von Graphen zu handhaben, entwickeln und präsentieren wir das Softwarepaket gcaops (Graph Complex Action on Poisson Structures) für SageMath. Mit diesem Paket, - entwickeln wir Kontsevich's Stern-Produkt bis auf o(h^4); - wir setzen ★ mod o(h^6) aus externen Daten von Banks-Panzer-Pym zusammen, und wir erhalten das Sternprodukt mod o(h^7) für affine Poisson-Klammern; - wir verifizieren dass die von Banks-Panzer-Pym gefundene Graphgewichte viele bekannte Gleichungen erfüllen; - wir illustrieren den expliziten Beweis der Assoziativität für das vollständige Sternprodukt modulo o(h^6) und für das affine Sternprodukt modulo o(h^7); - wir finden neue explizite Formeln für Graphencozyklen und universelle Poisson-Cozyklen, und - wir beweisen die Faktorisierung der Poisson-Cozyklus-Bedingung über die Jacobi-Identität in jedem Fall. Poisson-haakjes duiken op wanneer het puntsgewijze product van scalaire functies op een affiene variëteit zo gedeformeerd wordt dat het associatief blijft. Kontsevich bewees het omgekeerde: een universele formule wijst aan elk Poisson-haakje zo'n associatieve deformatie toe. Op een soortgelijke manier kunnen Poisson-haakjes zelf door universele formules gedeformeerd worden. In beide constructies worden de universele formules opgesteld met behulp van grafen. Om de duizenden grafen te handhaven, ontwikkelen en presenteren we het softwarepakket gcaops (Graph Complex Action on Poisson Structures) voor SageMath. Met behulp van dit pakket, - ontwikkelen we Kontsevich's sterproduct tot op o(h^4); - we bouwen ★ mod o(h^6) met externe data van Banks-Panzer-Pym, en we verkrijgen het sterproduct mod o(h^7) voor affiene Poisson-haakjes; - we bevestigen dat de gewichten van grafen gevonden door Banks-Panzer-Pym aan vele bekende vergelijkingen voldoen; - we illustreren het expliciete bewijs van de associativiteit voor het volledige sterproduct modulo o(h^6) en voor het affiene sterproduct modulo o(h^7); - we vinden nieuwe expliciete formules voor graaf-cocykels en universele Poisson-cocykels, en - we bewijzen de factorisatie van de Poisson-cocykel conditie via de Jacobi-identiteit in elk afzonderlijk geval.
DDC:	004 Informatik 004 Data processing 500 Naturwissenschaften 500 Natural sciences and mathematics 510 Mathematik 510 Mathematics
Institution:	Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Department:	FB 08 Physik, Mathematik u. Informatik
Place:	Mainz
ROR:	https://ror.org/023b0x485
DOI:	http://doi.org/10.25358/openscience-9274
URN:	urn:nbn:de:hebis:77-openscience-302d311b-7d33-493c-a635-91b03a68c25f3
Version:	Original work
Publication type:	Dissertation
License:	In Copyright
Information on rights of use:	http://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/
Extent:	iv, 652 Seiten ; Illustrationen
Appears in collections:	JGU-Publikationen