Analytische und numerische Untersuchung eines Wolkenmodells
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Abstract
Die korrekte Repräsentation von Wolkenprozessen in Wetter- und Klimamodellen ist entscheidend aufgrund ihrer Rückkopplung mit den atmosphärischen Strömungen. Da es keine allgemeine makroskopische Wolkentheorie gibt, ist die Parametrisierung von Wolken in entsprechender Vorhersage-Software empfindlich abhängig von den zugrunde liegenden Modellannahmen. Wir präsentieren daher ein aus physikalischen Prinzipien abgeleitetes neuartiges Modell von mittlerer Komplexität, ein Eineinhalb-Momente-Schema, für warme Wolken.
Ein besonderes Feature der differential-algebraischen Modellgleichungen ist die automatisierte Nukleation von Wolkentropfen, wenn feuchte Luft übersättigt. Dies wird durch eine nicht Lipschitz-stetige rechte Seite der gewöhnlichen Differentialgleichung ermöglicht, da diese nicht-triviale glatte Lösungen besitzt. Unter milden Anforderungen an den externen Antrieb des Systems zeigen wir rigoros, dass dieses System eine eindeutige physikalisch konsistente Lösung besitzt, das heißt, eine Lösung mit positiver Tropfenpopulation in einem thermodynamisch übersättigten Regime. Diesen Beweis führen wir mit Hilfe einer als Fuchs'sche Reduktion bezeichneten Methode und der bekannten Picard-Lindelöf-Theorie.
Für die numerische Lösung des Modells schlagen wir ein semi-implizites Integrationsschema mit effizienter Lösung der impliziten Anteile und einem Upwind-Schema für den Sedimentationsfluss vor. Mit Hilfe eines "`rain-shaft"'-Experiments wird das Schema getestet und eine Niederschlagsrate erzeugt.
Als zweiten Aspekt dieser Arbeit untersuchen wir Methoden, um die diversen Parameter des Modells anhand gegebener Niederschlagsraten zu rekonstruieren beziehungsweise zu optimieren. Für die Optimierung wird neben dem Vorwärtslöser auch der negative Gradient der Modellvorhersagen zur Verfügung gestellt. Dieser Gradient wird zunächst analytisch bestimmt und in der numerischen Simulation zugleich mit der Niederschlagsrate ausgewertet. Allerdings haben die Gradienten an isolierten Punkten Singularitäten, welche die Optimierung behindern. Dieser Einfluss wird anhand ausgewählter Beispiele herausgearbeitet.