Authors:	Felten, Simon
Title:	Log Toroidal Families
Online publication date:	9-Mar-2021
Year of first publication:	2021
Language:	english
Abstract:	We study families of logarithmic varieties with mild singularities, the log toroidal families. They generalize and unify various classes of spaces with controlled singularities, including toroidal varieties, toroidal embeddings, semistable degenerations, log smooth morphisms, and toric log Calabi–Yau spaces. Starting from Kato’s toroidal characterization of log smoothness and Gross–Siebert’s local models for the singularities of a toric log Calabi– Yau space, we construct elementary log toroidal families from combinatorial data as étale local models for the singularities which we allow in a log toroidal family. We study the reflexive de Rham complex W*_{X/S} of a log toroidal family and prove the Hodge–de Rham degeneration for proper log toroidal families over a log point S = Spec (Q → k). This in particular settles a conjecture of Danilov on the cohomology of toroidal pairs (X, D). This thesis is an expanded version of the article "Smoothing Toroidal Crossing Spaces" (attached in the file), where we prove the Hodge–de Rham degen- eration and apply it to obtain a smoothing of a normal crossing space as well as a toroidal crossing space. Wir untersuchen Familien logarithmischer Varietäten mit leichten Singularitäten, die log-toroidalen Familien. Diese verallgemeinern und vereinheitlichen verschiedene Begriffe eines Raumes mit kontrollierten Singularitäten, unter anderem toroidale Varietäten, toroidale Einbettungen, halbstabile Entartungen, logarithmisch glatte Morphismen und torische log-Calabi-Yau-Räume. Ausgehend von Katos toroidaler Charakterisierung der logarithmischen Glattheit und den lokalen Modellen des Gross-Siebert-Programms für die Singularitäten torischer log-Calabi-Yau-Räume konstruieren wir elementare log-toroidale Familien aus kombinatorischen Daten, welche als lokale Modelle für die Singularitäten dienen, die wir in log-toroidalen Familien zulassen. Wir untersuchen den reflexiven de-Rham-Komplex W*_{X/S} einer log-toroidalen Familie und beweisen die Entartung der Hodge-de-Rham-Spektralfolge an E_1 für eigentliche log-toroidale Familien über einem logarithmischen Punkt S = Spec (Q → k). Insbesondere ist damit eine Vermutung Danilovs über die Kohomologie toroidaler Paare (X, D) gezeigt. Diese Dissertation ist eine erweiterte Version der Arbeit "Smoothing Toroidal Crossing Spaces" (im Dokument angefügt), in der wir die Entartung der Spektralfolge zeigen und als Anwendung die Glättung vieler Räume mit normalen oder toroidalen Kreuzungen erhalten.
DDC:	510 Mathematik 510 Mathematics
Institution:	Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Department:	FB 08 Physik, Mathematik u. Informatik
Place:	Mainz
ROR:	https://ror.org/023b0x485
DOI:	http://doi.org/10.25358/openscience-5658
URN:	urn:nbn:de:hebis:77-openscience-87bd2a0f-3dd1-462c-8e1b-9fb7cff756da3
Version:	Original work
Publication type:	Dissertation
License:	In Copyright
Information on rights of use:	http://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/
Extent:	75, 45 Seiten, Illustrationen
Appears in collections:	JGU-Publikationen