Authors:	Uebersohn, Christoph
Title:	On the difference of spectral projections
Online publication date:	3-Apr-2019
Year of first publication:	2019
Language:	english
Abstract:	The aim of the present Ph.D. thesis is to investigate the relationship between differences of spectral projections and Hankel integral operators. This leads us to the following question: Is the difference of two spectral projections $E_{(-infty, lambda)}(A+B)$ and $E_{(-infty, lambda)}(A)$ associated with an open interval $(-infty, lambda)$ unitarily equivalent to a Hankel integral operator, provided that $A$ and $B$ are self-adjoint operators on a complex separable Hilbert space of infinite dimension, where $A$ is semibounded and $B$ is of rank 1? We show that, roughly speaking, the answer to this question is positive for all but at most countably many $lambda in R$. Further, we prove a similar result in the more general case when $B$ is compact. The above question is motivated by the following classical example given by M. Krein: The difference of the resolvents of the Neumann and Dirichlet Laplacians on the semi-axis at the spectral point -1 is a rank one operator, but the difference of the spectral projections of these resolvents associated with $(-infty, lambda)$ is not even Hilbert Schmidt, for all $0<lambda<1$. The latter difference is a Hankel integral operator that can be computed explicitly (and is not even compact, as was shown more than fifty years later by Kostrykin and Makarov who diagonalized this Hankel integral operator). With this example, M. Krein showed that the "naive" definition (proposed by Lifshits) $xi(lambda) " = " trace(E_{(-infty, lambda)}(A+B) - E_{(-infty, lambda)}(A))$ of the spectral shift function $xi in L^1{R}$ for a pair $A$, $A+B$ need not work in general. The spectral shift function was introduced at a formal level by Lifshits; M. Krein presented a rigorous definition. In the final chapter of the present thesis, we generalize M. Krein's example to operators of the type $(- frac{d^2}{dt^2} )^{Neu / Dir} otimes I + I otimes L in L^2{R_+} otimes G$, where $L$ is a self-adjoint nonnegative operator on a complex separable Hilbert space $G$. In particular, we observe that the difference of the spectral projections is again unitarily equivalent to a Hankel integral operator. Das Ziel der vorliegenden Dissertation ist es, die Verbindung zwischen Differenzen von Spektralprojektionen und Hankel-Integraloperatoren zu erforschen. Dies führt uns zu der folgenden Frage: Ist die Differenz von zwei Spektralprojektionen $E_{(-infty, lambda)}(A+B)$ und $E_{(-infty, lambda)}(A)$ bzgl. des offenen Intervalls $(-infty, lambda)$ unitär äquivalent zu einem Hankel-Integraloperator, wenn $A$ und $B$ selbstadjungierte Operatoren auf einem unendlichdimensionalen komplexen separablen Hilbertraum sind, wobei $A$ halbbeschränkt ist und $B$ vom Rang 1? Wir zeigen (grob gesagt), dass diese Frage für alle bis auf höchstens abzählbar viele $lambda in R$ positiv beantwortet werden kann. Ferner beweisen wir ein ähnliches Resultat im allgemeineren Fall, wenn $B$ kompakt ist. Die obige Frage ist motiviert durch das folgende klassische Beispiel von M. Krein: Die Differenz der Resolventen der Neumann- und Dirichlet-Laplace-Operatoren auf der Halbachse im Punkt -1 ist ein Rang-1-Operator, aber die Differenz der Spektralprojektionen dieser Resolventen bzgl. $(-infty, lambda)$ ist nicht einmal Hilbert Schmidt, für alle $0<lambda<1$. Die letztere Differenz ist ein Hankel-Integraloperator, der explizit berechnet werden kann (und der nicht einmal kompakt ist, wie Kostrykin und Makarov, die diesen Hankel-Integraloperator mehr als fünfzig Jahre später diagonalisiert haben, zeigen konnten). Mit diesem Beispiel hat M. Krein gezeigt, dass die &quot;naive&quot; Definition (vorgeschlagen von Lifshits) $xi(lambda) &quot; = &quot; Spur(E_{(-infty, lambda)}(A+B) - E_{(-infty, lambda)}(A))$ der spektralen Verschiebungsfunktion $xi in L^1{R}$ für ein Paar $A$, $A+B$ im Allgemeinen nicht funktioniert. Die spektrale Verschiebungsfunktion wurde auf formaler Ebene von Lifshits eingeführt; M. Krein hat eine rigorose Definition präsentiert. Im abschließenden Kapitel der vorliegenden Dissertation verallgemeinern wir M. Kreins Beispiel für Operatoren vom Typ $(- frac{d^2}{dt^2} )^{Neu / Dir} otimes I + I otimes L in L^2{R_+} otimes G$, wobei $L$ ein selbstadjungierter nichtnegativer Operator auf einem komplexen separablen Hilbertraum $G$ ist. Insbesondere beobachten wir, dass die Differenz der Spektralprojektionen wieder unitär äquivalent zu einem Hankel-Integraloperator ist.
DDC:	510 Mathematik 510 Mathematics
Institution:	Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Department:	FB 08 Physik, Mathematik u. Informatik
Place:	Mainz
ROR:	https://ror.org/023b0x485
DOI:	http://doi.org/10.25358/openscience-4808
URN:	urn:nbn:de:hebis:77-diss-1000027145
Version:	Original work
Publication type:	Dissertation
License:	In Copyright
Information on rights of use:	https://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/
Extent:	xii, 117 Blätter
Appears in collections:	JGU-Publikationen