Please use this identifier to cite or link to this item: http://doi.org/10.25358/openscience-4675
Authors: Jung, Florian
Title: Canonical group quantization and boundary conditions
Online publication date: 24-Aug-2012
Language: english
Abstract: In the present thesis, we study quantization of classical systems with non-trivial phase spaces using the group-theoretical quantization technique proposed by Isham. Our main goal is a better understanding of global and topological aspects of quantum theory. In practice, the group-theoretical approach enables direct quantization of systems subject to constraints and boundary conditions in a natural and physically transparent manner -- cases for which the canonical quantization method of Dirac fails. First, we provide a clarification of the quantization formalism. In contrast to prior treatments, we introduce a sharp distinction between the two group structures that are involved and explain their physical meaning. The benefit is a consistent and conceptually much clearer construction of the Canonical Group. In particular, we shed light upon the 'pathological' case for which the Canonical Group must be defined via a central Lie algebra extension and emphasise the role of the central extension in general. In addition, we study direct quantization of a particle restricted to a half-line with 'hard wall' boundary condition. Despite the apparent simplicity of this example, we show that a naive quantization attempt based on the cotangent bundle over the half-line as classical phase space leads to an incomplete quantum theory; the reflection which is a characteristic aspect of the 'hard wall' is not reproduced. Instead, we propose a different phase space that realises the necessary boundary condition as a topological feature and demonstrate that quantization yields a suitable quantum theory for the half-line model. The insights gained in the present special case improve our understanding of the relation between classical and quantum theory and illustrate how contact interactions may be incorporated.
In der vorliegenden Dissertation beschäftigen wir uns mit der Quantisierung von klassischen Systemen mit nicht-trivialen Phasenräumen mittels der gruppentheoretischen Quantisierungsmethode, welche von Isham vorgeschlagen wurde. Unser Hauptziel ist ein besseres Verständnis globaler und topologischer Aspekte der Quantentheorie. In der Praxis erlaubt der gruppentheoretische Zugang die direkte Quantisierung von Systemen mit Zwangs- und Randbedingungen in natürlicher und physikalisch transparenter Weise -- Fälle, in denen die kanonische Quantisierungsmethode von Dirac versagt. Als Erstes liefern wir eine Präzisierung des Quantisierungsformalismus. Im Gegensatz zu vorherigen Arbeiten führen wir eine strikte Unterscheidung zwischen den beiden beteiligten Gruppenstrukturen ein und erläutern deren physikalische Bedeutung. Das Ergebnis ist eine konsistente und konzeptionell deutlich klarere Konstruktion der Kanonischen Gruppe. Insbesondere diskutieren wir den "pathologischen" Fall, in dem die Kanonische Gruppe mittels zentraler Liealgebra-Erweiterung definiert werden muss, und betonen die Rolle der zentralen Erweiterung im Allgemeinen. Außerdem betrachten wir die direkte Quantisierung eines Teilchens, welches durch eine unendlich hohe Potentialwand auf eine Halbgerade eingeschränkt wird. Trotz der scheinbaren Einfachheit dieses Beispiels zeigen wir, dass ein naiver Quantisierungsversuch basierend auf dem Kotangentialbündel über der Halbgeraden als Phasenraum zu einer unvollständigen Quantentheorie führt; die Reflexion, ein wesentlicher Aspekt der harten Potentialwand, wird nicht reproduziert. Stattdessen schlagen wir einen alternativen Phasenraum vor, der die notwendige Randbedingung als topologische Eigenschaft realisiert und demonstrieren, dass durch Quantisierung eine geeignete Quantentheorie für die Halbgeraden entsteht. Die aus diesem Spezialfall gewonnenen Erkenntnisse verbessern das Verständnis der Beziehung zwischen Klassischer und Quantenmechanik und zeigen, wie Kontaktwechselwirkungen berücksichtigt werden können.
DDC: 530 Physik
530 Physics
Institution: Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Department: FB 08 Physik, Mathematik u. Informatik
Place: Mainz
DOI: http://doi.org/10.25358/openscience-4675
Version: Original work
Publication type: Dissertation
License: in Copyright
Information on rights of use: https://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/
Extent: 198 S.
Appears in collections:JGU-Publikationen

Files in This Item:
File SizeFormat 
3212.pdf7.49 MBAdobe PDFView/Open