Authors:	Hammer, Matthias
Title:	Ergodicity and regularity of invariant measure for branching Markov processes with immigration
Online publication date:	18-Dec-2012
Year of first publication:	2012
Language:	english
Abstract:	In this thesis we consider systems of finitely many particles moving on paths given by a strong Markov process and undergoing branching and reproduction at random times. The branching rate of a particle, its number of offspring and their spatial distribution are allowed to depend on the particle's position and possibly on the configuration of coexisting particles. In addition there is immigration of new particles, with the rate of immigration and the distribution of immigrants possibly depending on the configuration of pre-existing particles as well. In the first two chapters of this work, we concentrate on the case that the joint motion of particles is governed by a diffusion with interacting components. The resulting process of particle configurations was studied by E. Löcherbach (2002, 2004) and is known as a branching diffusion with immigration (BDI). Chapter 1 contains a detailed introduction of the basic model assumptions, in particular an assumption of ergodicity which guarantees that the BDI process is positive Harris recurrent with finite invariant measure on the configuration space. This object and a closely related quantity, namely the invariant occupation measure on the single-particle space, are investigated in Chapter 2 where we study the problem of the existence of Lebesgue-densities with nice regularity properties. For example, it turns out that the existence of a continuous density for the invariant measure depends on the mechanism by which newborn particles are distributed in space, namely whether branching particles reproduce at their death position or their offspring are distributed according to an absolutely continuous transition kernel. In Chapter 3, we assume that the quantities defining the model depend only on the spatial position but not on the configuration of coexisting particles. In this framework (which was considered by Höpfner and Löcherbach (2005) in the special case that branching particles reproduce at their death position), the particle motions are independent, and we can allow for more general Markov processes instead of diffusions. The resulting configuration process is a branching Markov process in the sense introduced by Ikeda, Nagasawa and Watanabe (1968), complemented by an immigration mechanism. Generalizing results obtained by Höpfner and Löcherbach (2005), we give sufficient conditions for ergodicity in the sense of positive recurrence of the configuration process and finiteness of the invariant occupation measure in the case of general particle motions and offspring distributions. In dieser Dissertation betrachten wir Systeme endlich vieler Partikel, die sich entlang von Pfaden eines starken Markovprozesses bewegen und dabei zu zufälligen Zeiten verzweigen und Nachkommen erzeugen. Die Verzweigungsrate eines Partikels, die Anzahl seiner Nachkommen und deren Verteilung im Raum hängen von der räumlichen Position des Partikels sowie möglicherweise von der Konfiguration aller koexistierenden Partikel ab. Zusätzlich erfolgt Immigration, wobei die entsprechende Rate sowie die räumliche Verteilung der Immigranten ebenfalls von der Konfiguration aller bereits existierenden Partikel abhängen dürfen. In den ersten beiden Kapiteln betrachten wir den Fall, dass die gemeinsame Partikelbewegung durch eine Diffusion mit interagierenden Komponenten beschrieben wird. Der resultierende Partikelprozess heißt branching diffusion with immigration (BDI) und wurde von E. Löcherbach (2002, 2004) eingehend untersucht. Kapitel 1 enthält eine detaillierte Einführung der zugrundeliegenden Modellannahmen, insbesondere eine Ergodizitätsannahme, welche die positive Harris-Rekurrenz des BDI-Prozesses mit endlichem invariantem Maß auf dem Konfigurationsraum sicherstellt. Dieses sowie ein nahe verwandtes Objekt, das sogenannte invariante Okkupationsmaß auf dem Einpartikelraum, werden in Kapitel 2 untersucht, wo wir das Problem der Existenz von Lebesgue-Dichten mit wünschenswerten Regularitätseigenschaften behandeln. Beispielsweise stellt sich heraus, dass die Existenz einer stetigen Dichte für das invariante Maß davon abhängt, ob die Reproduktion direkt am Ort des Verzweigens stattfindet oder ob die Nachkommen eines verzweigenden Partikels gemäß eines absolutstetigen Übergangskerns im Raum verteilt werden. In Kapitel 3 setzen wir voraus, dass die eingangs erwähnten Modellparameter (Partikelbewegung, Verzweigungsrate, Reproduktionsmechanismus) nur von der räumlichen Position und nicht von der Konfiguration aller koexistierenden Partikel abhängen. In diesem Rahmen (der für den Spezialfall, dass die Reproduktion direkt am Verzweigungsort stattfindet, von Höpfner und Löcherbach (2005) untersucht wurde) bewegen sich die Partikel unabhängig voneinander, und wir können als Einpartikelbewegung allgemeinere Markovprozesse anstelle von Diffusionen zulassen. Der resultierende Prozess kann als ein verzweigender Markovprozess im Sinne von Ikeda, Nagasawa und Watanabe (1968) mit zusätzlicher Immigration aufgefasst werden. In Verallgemeinerung der Resultate von Höpfner und Löcherbach (2005) beweisen wir hinreichende Bedingungen für Ergodizität im Sinne von positiver Rekurrenz des Partikelprozesses auf dem Konfigurationsraum und Endlichkeit des invarianten Okkupationsmaßes für den Fall allgemeiner Partikelbewegungen und räumlicher Nachkommensverteilungen.
DDC:	510 Mathematik 510 Mathematics
Institution:	Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Department:	FB 08 Physik, Mathematik u. Informatik
Place:	Mainz
ROR:	https://ror.org/023b0x485
DOI:	http://doi.org/10.25358/openscience-4350
URN:	urn:nbn:de:hebis:77-33062
Version:	Original work
Publication type:	Dissertation
License:	In Copyright
Information on rights of use:	https://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/
Extent:	141 S.
Appears in collections:	JGU-Publikationen