Authors:	Reyes, Andres
Title:	On the geometry of the spin-statistics connection in quantum mechanics
Online publication date:	28-Nov-2006
Year of first publication:	2006
Language:	english
Abstract:	The Spin-Statistics theorem states that the statistics of a system of identical particles is determined by their spin: Particles of integer spin are Bosons (i.e. obey Bose-Einstein statistics), whereas particles of half-integer spin are Fermions (i.e. obey Fermi-Dirac statistics). Since the original proof by Fierz and Pauli, it has been known that the connection between Spin and Statistics follows from the general principles of relativistic Quantum Field Theory. In spite of this, there are different approaches to Spin-Statistics and it is not clear whether the theorem holds under assumptions that are different, and even less restrictive, than the usual ones (e.g. Lorentz-covariance). Additionally, in Quantum Mechanics there is a deep relation between indistinguishabilty and the geometry of the configuration space. This is clearly illustrated by Gibbs' paradox. Therefore, for many years efforts have been made in order to find a geometric proof of the connection between Spin and Statistics. Recently, various proposals have been put forward, in which an attempt is made to derive the Spin-Statistics connection from assumptions different from the ones used in the relativistic, quantum field theoretic proofs. Among these, there is the one due to Berry and Robbins (BR), based on the postulation of a certain single-valuedness condition, that has caused a renewed interest in the problem. In the present thesis, we consider the problem of indistinguishability in Quantum Mechanics from a geometric-algebraic point of view. An approach is developed to study configuration spaces Q having a finite fundamental group, that allows us to describe different geometric structures of Q in terms of spaces of functions on the universal cover of Q. In particular, it is shown that the space of complex continuous functions over the universal cover of Q admits a decomposition into C(Q)-submodules, labelled by the irreducible representations of the fundamental group of Q, that can be interpreted as the spaces of sections of certain flat vector bundles over Q. With this technique, various results pertaining to the problem of quantum indistinguishability are reproduced in a clear and systematic way. Our method is also used in order to give a global formulation of the BR construction. As a result of this analysis, it is found that the single-valuedness condition of BR is inconsistent. Additionally, a proposal aiming at establishing the Fermi-Bose alternative, within our approach, is made. Das Spin-Statistik-Theorem besagt, dass das statistische Verhalten eines Systems von identischen Teilchen durch deren Spin bestimmt ist: Teilchen mit ganzzahligem Spin sind Bosonen (gehorchen also der Bose-Einstein-Statistik), Teilchen mit halbzahligem Spin hingegen sind Fermionen (gehorchen also der Fermi-Dirac-Statistik). Seit dem ursprünglichen Beweis von Fierz und Pauli wissen wir, dass der Zusammenhang zwischen Spin und Statistik aus den allgemeinen Prinzipien der relativistischen Quantenfeldtheorie folgt. Man kann nun die Frage stellen, ob das Theorem auch dann noch gültig bleibt, wenn man schwächere Annahmen macht als die allgemein üblichen (z.B. Lorentz-\linebreak Kovarianz). Es gibt die verschiedensten Ansätze, die sich mit der Suche nach solchen schwächeren Annahmen beschäftigen. Neben dieser Suche wurden über viele Jahre hinweg Versuche unternommen einen geometrischen Beweis für den Zusammenhang zwischen Spin und Statistik zu finden. Solche Ansätze werden hauptsächlich, durch den tieferen Zusammenhang zwischen der Ununterscheidbarkeit von identischen Teilchen und der Geometrie des Konfigurationsraumes, wie man ihn beispielsweise an dem Gibbs'schen Paradoxon sehr deutlich sieht, motiviert. Ein Versuch der diesen tieferen Zusammenhang ausnutzt, um ein geometrisches Spin-Statistik-Theorem zu beweisen, ist die Konstruktion von Berry und Robbins (BR). Diese Konstruktion basiert auf einer Eindeutigkeitsbedingung der Wellenfunktion, die Ausgangspunkt erneuerten Interesses an diesem Thema war. Die vorliegende Arbeit betrachtet das Problem identischer Teilchen in der Quantenmechanik von einem geometrisch-algebraischen Standpunkt. Man geht dabei von einem Konfigurationsraum Q mit einer endlichen Fundamentalgruppe aus. Diese hat eine Darstellung auf dem Raum der komplex-wertige, stetige Funktionen über die universelle Ueberlagerung von Q. Die Wirkung der Fundamentalgruppe von Q auf der Ueberlagerung induziert nun eine Teilung von C(Q) in disjunkte Moduln über C(Q), die als Räume von Schnitten bestimmter flacher Vektorbündel über die Ueberlagerung interpretiert werden können. Auf diese Weise lässt sich die geometrische Struktur des Konfigurationsraums Q in der Struktur eines Funktionenraums kodieren. Durch diese Technik ist es nun möglich die verschiedensten Ergebnisse, die das Problem der Ununterscheidbarkeit betreffen, auf klare, systematische Weise zu reproduzieren. Ferner findet man mit dieser Methode eine globale Formulierung der BR- Konstruktion. Ein Ergebnis dieser globalen Betrachtungsweise ist, dass die Eindeutigkeitsbedingung der BR-Konstruktion zu Inkonsistenzen führt. Ein weiterführendes Proposal hat die Begründung der Fermi-Bose-Alternative innerhalb unseres Zugangs zum Gegenstand.
DDC:	500 Naturwissenschaften 500 Natural sciences and mathematics
Institution:	Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Department:	FB 08 Physik, Mathematik u. Informatik
Place:	Mainz
ROR:	https://ror.org/023b0x485
DOI:	http://doi.org/10.25358/openscience-4177
URN:	urn:nbn:de:hebis:77-11894
Version:	Original work
Publication type:	Dissertation
License:	In Copyright
Information on rights of use:	https://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/
Appears in collections:	JGU-Publikationen