Authors:	Milisic, Josipa Pina
Title:	Quantum hydrodynamic models for semiconductors with and without collisions
Online publication date:	3-Sep-2007
Year of first publication:	2007
Language:	english
Abstract:	In dieser Arbeit werden Quantum-Hydrodynamische (QHD) Modelle betrachtet, die ihren Einsatz besonders in der Modellierung von Halbleiterbauteilen finden. Das QHD Modell besteht aus den Erhaltungsgleichungen für die Teilchendichte, das Momentum und die Energiedichte, inklusive der Quanten-Korrekturen durch das Bohmsche Potential. Zu Beginn wird eine Übersicht über die bekannten Ergebnisse der QHD Modelle unter Vernachlässigung von Kollisionseffekten gegeben, die aus ein­em Schrödinger-System für den gemischten-Zustand oder aus der Wigner-Glei­chung hergeleitet werden können. Nach der Reformulierung der eindimensionalen QHD Gleichungen mit linearem Potential als stationäre Schrö­din­ger-Gleichung werden die semianalytischen Fassungen der QHD Gleichungen für die Gleichspannungs-Kurve betrachtet. Weiterhin werden die viskosen Stabilisierungen des QHD Modells be­rück­sich­tigt, sowie die von Gardner vorgeschlagene numerische Viskosität für das {\sf upwind} Finite-Differenzen Schema berechnet. Im Weiteren wird das viskose QHD Modell aus der Wigner-Glei­chung mit Fokker-Planck Kollisions-Ope­ra­tor hergeleitet. Dieses Modell enthält die physikalische Viskosität, die durch den Kollision-Operator eingeführt wird. Die Existenz der Lösungen (mit strikt positiver Teilchendichte) für das isotherme, stationäre, eindimensionale, viskose Modell für allgemeine Daten und nichthomogene Randbedingungen wird gezeigt. Die dafür notwendigen Abschätzungen hängen von der Viskosität ab und erlauben daher den Grenzübergang zum nicht-viskosen Fall nicht. Numerische Simulationen der Resonanz-Tunneldiode modelliert mit dem nichtisothermen, stationären, eindimensionalen, viskosen QHD Modell zeigen den Einfluss der Viskosität auf die Lösung. Unter Verwendung des von Degond und Ringhofer entwickelten Quanten- Entropie-Minimierungs-Verfahren werden die allgemeinen QHD-Gleichungen aus der Wigner-Boltzmann-Gleichung mit dem BGK-Kollisions-Operator hergeleitet. Die Herleitung basiert auf der vorsichtige Entwicklung des Quanten-Max­well­ians in Potenzen der skalierten Plankschen Konstante. Das so erhaltene Modell enthält auch vertex-Terme und dispersive Terme für die Ge­schwin­dig­keit. Dadurch bleibt die Gleichspannungs-Kurve für die Re­so­nanz-Tunnel­diode unter Verwendung des allgemeinen QHD Modells in einer Dimension numerisch erhalten. Die Ergebnisse zeigen, dass der dispersive Ge­schwin­dig­keits-Term die Lösung des Systems stabilisiert. In this thesis we study quantum hydrodynamic (QHD) models, particularly the ones used in semiconductor device modeling. r The QHD model consists of the conservation laws for the particle density, momentum, and energy density, including quantum corrections from the Bohm potential. We start with a review of the known results on collisionless QHD models derived from the mixed-state Schrödinger system or from the Wigner equation. Using the reformulation of the one-dimensional stationary QHD equations with the linear potential as a stationary Schrödinger equation, the semi-analytical expressions for current-voltage curves are studied. Further on, we consider viscous stabilizations of the QHD model. The numerical viscosity for the upwind finite-difference discretization of the QHD model proposed by C.Gardner is computed. On the other side, starting from the Wigner equation with the Fokker-Planck collision operator we derive the viscous QHD model. This model contains the physical viscosity introduced by the collision operator. The existence of solutions (with strictly positive particle density) to the isothermal, stationary, one-dimensional viscous model for general data and non-homogeneous boundary conditions is shown. The estimates depend on the viscosity and do not allow to perform the inviscid limit. By numerical simulations of the resonant tunneling diode using the non-isothermal, stationary, one-dimensional viscous QHD model, we show the influence of the physical viscosity on the solution. Applying the quantum entropy minimization method, recently developed by P.Degond and C.Ringhofer, we derive the general QHD equations, starting from a Wigner-Boltzmann equation with the BGK-type collision operator. The derivation is based on a careful expansion of the quantum Maxwellian in powers of the scaled Planck constant. The general QHD model includes also vorticity terms and a dispersive term for the velocity. Current-voltage curve of the resonant tunneling diode for the simplified general QHD equations in one dimension is studied by numerical simulations. The results indicate that the dispersive velocity term regularizes the solution of the system.
DDC:	510 Mathematik 510 Mathematics
Institution:	Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Department:	FB 08 Physik, Mathematik u. Informatik
Place:	Mainz
ROR:	https://ror.org/023b0x485
DOI:	http://doi.org/10.25358/openscience-3385
URN:	urn:nbn:de:hebis:77-13818
Version:	Original work
Publication type:	Dissertation
License:	In Copyright
Information on rights of use:	https://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/
Appears in collections:	JGU-Publikationen