Quantum hydrodynamic models for semiconductors with and without collisions
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Abstract
In dieser Arbeit werden Quantum-Hydrodynamische (QHD) Modelle
betrachtet, die ihren Einsatz besonders in der Modellierung von Halbleiterbauteilen finden.
Das QHD Modell besteht aus den Erhaltungsgleichungen
für die Teilchendichte, das Momentum und die Energiedichte,
inklusive der Quanten-Korrekturen durch das Bohmsche
Potential.
Zu Beginn wird eine Übersicht über die bekannten Ergebnisse der
QHD Modelle unter Vernachlässigung von Kollisionseffekten gegeben, die aus einem
Schrödinger-System für den gemischten-Zustand oder aus der Wigner-Gleichung hergeleitet
werden können.
Nach der Reformulierung der
eindimensionalen QHD Gleichungen mit linearem Potential
als stationäre Schrödinger-Gleichung werden die semianalytischen
Fassungen der QHD Gleichungen für die Gleichspannungs-Kurve betrachtet.
Weiterhin werden die viskosen Stabilisierungen des QHD Modells
berücksichtigt, sowie die von Gardner vorgeschlagene
numerische Viskosität
für das {\sf upwind} Finite-Differenzen
Schema berechnet.
Im Weiteren wird das viskose QHD Modell aus der Wigner-Gleichung mit
Fokker-Planck Kollisions-Operator hergeleitet.
Dieses Modell enthält die physikalische Viskosität, die
durch den Kollision-Operator eingeführt wird.
Die Existenz der Lösungen (mit strikt positiver Teilchendichte)
für das isotherme, stationäre, eindimensionale, viskose Modell
für allgemeine Daten und nichthomogene Randbedingungen wird gezeigt.
Die dafür notwendigen Abschätzungen hängen von der Viskosität ab und erlauben
daher den Grenzübergang zum nicht-viskosen Fall nicht.
Numerische Simulationen der Resonanz-Tunneldiode
modelliert mit dem nichtisothermen, stationären, eindimensionalen,
viskosen QHD Modell zeigen den Einfluss der Viskosität auf die
Lösung.
Unter Verwendung des von Degond und Ringhofer entwickelten
Quanten-
Entropie-Minimierungs-Verfahren werden die allgemeinen
QHD-Gleichungen aus der Wigner-Boltzmann-Gleichung mit dem
BGK-Kollisions-Operator hergeleitet.
Die Herleitung basiert auf der vorsichtige Entwicklung
des Quanten-Maxwellians in Potenzen der skalierten Plankschen
Konstante.
Das so erhaltene Modell enthält
auch vertex-Terme und dispersive
Terme für die Geschwindigkeit.
Dadurch bleibt die Gleichspannungs-Kurve für die Resonanz-Tunneldiode
unter Verwendung des allgemeinen QHD Modells in einer
Dimension numerisch erhalten.
Die Ergebnisse zeigen, dass der dispersive
Geschwindigkeits-Term die Lösung des Systems stabilisiert.