Please use this identifier to cite or link to this item: http://doi.org/10.25358/openscience-3231
Authors: Schiller, Ulf Daniel
Title: Thermal fluctuations and boundary conditions in the lattice Boltzmann method
Online publication date: 23-Dec-2008
Language: english
Abstract: The lattice Boltzmann method is a popular approach for simulating hydrodynamic interactions in soft matter and complex fluids. The solvent is represented on a discrete lattice whose nodes are populated by particle distributions that propagate on the discrete links between the nodes and undergo local collisions. On large length and time scales, the microdynamics leads to a hydrodynamic flow field that satisfies the Navier-Stokes equation. In this thesis, several extensions to the lattice Boltzmann method are developed. In complex fluids, for example suspensions, Brownian motion of the solutes is of paramount importance. However, it can not be simulated with the original lattice Boltzmann method because the dynamics is completely deterministic. It is possible, though, to introduce thermal fluctuations in order to reproduce the equations of fluctuating hydrodynamics. In this work, a generalized lattice gas model is used to systematically derive the fluctuating lattice Boltzmann equation from statistical mechanics principles. The stochastic part of the dynamics is interpreted as a Monte Carlo process, which is then required to satisfy the condition of detailed balance. This leads to an expression for the thermal fluctuations which implies that it is essential to thermalize all degrees of freedom of the system, including the kinetic modes. The new formalism guarantees that the fluctuating lattice Boltzmann equation is simultaneously consistent with both fluctuating hydrodynamics and statistical mechanics. This establishes a foundation for future extensions, such as the treatment of multi-phase and thermal flows. An important range of applications for the lattice Boltzmann method is formed by microfluidics. Fostered by the "lab-on-a-chip" paradigm, there is an increasing need for computer simulations which are able to complement the achievements of theory and experiment. Microfluidic systems are characterized by a large surface-to-volume ratio and, therefore, boundary conditions are of special relevance. On the microscale, the standard no-slip boundary condition used in hydrodynamics has to be replaced by a slip boundary condition. In this work, a boundary condition for lattice Boltzmann is constructed that allows the slip length to be tuned by a single model parameter. Furthermore, a conceptually new approach for constructing boundary conditions is explored, where the reduced symmetry at the boundary is explicitly incorporated into the lattice model. The lattice Boltzmann method is systematically extended to the reduced symmetry model. In the case of a Poiseuille flow in a plane channel, it is shown that a special choice of the collision operator is required to reproduce the correct flow profile. This systematic approach sheds light on the consequences of the reduced symmetry at the boundary and leads to a deeper understanding of boundary conditions in the lattice Boltzmann method. This can help to develop improved boundary conditions that lead to more accurate simulation results.
Die Lattice-Boltzmann-Methode ist ein verbreitetes Verfahren zur Simulation hydrodynamischer Wechselwirkungen in weicher Materie und komplexen Flüssigkeiten. Dabei wird das Lösungsmittel durch ein räumliches Gitter repräsentiert, auf dem Teilchenpopulationen entlang der diskreten Kanten zwischen den Gitterpunkten propagieren und lokal miteinander kollidieren. Diese Mikrodynamik führt auf großen Skalen zu einem hydrodynamischen Strömungsfeld, wie es die Navier-Stokes-Gleichung beschreibt. In der vorliegenden Arbeit werden verschiedene methodische Erweiterungen der Lattice-Boltzmann-Methode entwickelt. In komplexen Flüssigkeiten, z.B. Suspensionen, ist die Brownsche Molekularbewegung von zentraler Bedeutung. Sie kann jedoch mit der klassischen Lattice-Boltzmann-Methode nicht simuliert werden, da die Dynamik vollständig deterministisch ist. Es ist jedoch möglich, zusätzliche thermische Schwankungen einzuführen, mit denen fluktuierende Hydrodynamik reproduziert werden kann. In der Arbeit wird mit Hilfe eines verallgemeinerten Gitter-Gas-Modells eine systematische Herleitung der Gleichgewichtsverteilung aus Prinzipien der Statistischen Mechanik präsentiert. Der stochastische Anteil der Dynamik wird als Monte-Carlo-Prozess betrachtet, der dem Prinzip des detaillierten Gleichgewichts genügen muss. Hieraus lässt sich eine Bedingung für die thermischen Fluktuationen ableiten, die insbesondere besagt, dass alle Freiheitsgrade des Systems einschließlich der kinetischen Moden thermalisiert werden müssen. Der entwickelte Formalismus stellt sicher, dass die verbesserte fluktuierende Lattice-Boltzmann-Methode sowohl die fluktuierende Hydrodynamik reproduziert als auch konsistent auf der Statistischen Mechanik aufbaut. Dies könnte die Grundlage für zukünftige Erweiterungen der Methode sein, z.B. im Hinblick auf Multi-Phasen-Systeme oder Thermo-Hydrodynamik. Ein wichtiges Anwendungsgebiet der Lattice-Boltzmann-Methode ist die Mikrofluidik. Simulationen leisten hier neben Theorie und Experiment einen wichtigen Beitrag auf dem Weg zum "Labor auf dem Chip". Mikrofluidik-Systeme zeichnen sich durch ein hohes Verhältnis von Oberflächen zu Volumen aus. Besonderes Augenmerk muss daher auf die Randbedingungen gelegt werden, wobei im Mikrobereich die in der Hydrodynamik übliche Haftbedingung an der Oberfläche durch eine Gleitbedingung zu ersetzen ist. In dieser Arbeit wird eine Randbedingung für die Lattice-Boltzmann-Methode konstruiert, die die Einstellung der Gleitlänge über einen entsprechenden Modellparameter ermöglicht. Es wird weiterhin ein neuer Ansatz zur Konstruktion von Randbedingungen untersucht. Ausgangspunkt ist dabei die explizite Berücksichtigung der gebrochenen Symmetrie an einer Oberfläche innerhalb des Gittermodells. Die Lattice-Boltzmann-Methode wird systematisch auf die gebrochene Symmetrie verallgemeinert. Am Beispiel einer Poiseuille-Strömung wird gezeigt, dass eine spezielle Wahl des Kollisionsoperators an der Wand erforderlich ist, damit das Strömungsprofil korrekt reproduziert wird. Die systematische Vorgehensweise führt dabei zu einem erweiterten Verständnis von Randbedingungen in der Lattice-Boltzmann-Methode, das nicht nur bei der Interpretation von Simulationsergebnissen hilfreich ist, sondern auch zu zukünftigen Verbesserungen der Methode führen könnte.
DDC: 530 Physik
530 Physics
Institution: Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Department: FB 08 Physik, Mathematik u. Informatik
Place: Mainz
DOI: http://doi.org/10.25358/openscience-3231
Version: Original work
Publication type: Dissertation
License: in Copyright
Information on rights of use: https://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/
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