Please use this identifier to cite or link to this item: http://doi.org/10.25358/openscience-2890
Authors: Richters, Dorothee
Title: Novel algorithms for electronic structure based molecular dynamics with linear system-size scaling
Online publication date: 20-Oct-2014
Language: english
Abstract: Die vorliegende Arbeit behandelt die Entwicklung und Verbesserung von linear skalierenden Algorithmen für Elektronenstruktur basierte Molekulardynamik. Molekulardynamik ist eine Methode zur Computersimulation des komplexen Zusammenspiels zwischen Atomen und Molekülen bei endlicher Temperatur. Ein entscheidender Vorteil dieser Methode ist ihre hohe Genauigkeit und Vorhersagekraft. Allerdings verhindert der Rechenaufwand, welcher grundsätzlich kubisch mit der Anzahl der Atome skaliert, die Anwendung auf große Systeme und lange Zeitskalen. Ausgehend von einem neuen Formalismus, basierend auf dem großkanonischen Potential und einer Faktorisierung der Dichtematrix, wird die Diagonalisierung der entsprechenden Hamiltonmatrix vermieden. Dieser nutzt aus, dass die Hamilton- und die Dichtematrix aufgrund von Lokalisierung dünn besetzt sind. Das reduziert den Rechenaufwand so, dass er linear mit der Systemgröße skaliert. Um seine Effizienz zu demonstrieren, wird der daraus entstehende Algorithmus auf ein System mit flüssigem Methan angewandt, das extremem Druck (etwa 100 GPa) und extremer Temperatur (2000 - 8000 K) ausgesetzt ist. In der Simulation dissoziiert Methan bei Temperaturen oberhalb von 4000 K. Die Bildung von sp²-gebundenem polymerischen Kohlenstoff wird beobachtet. Die Simulationen liefern keinen Hinweis auf die Entstehung von Diamant und wirken sich daher auf die bisherigen Planetenmodelle von Neptun und Uranus aus. Da das Umgehen der Diagonalisierung der Hamiltonmatrix die Inversion von Matrizen mit sich bringt, wird zusätzlich das Problem behandelt, eine (inverse) p-te Wurzel einer gegebenen Matrix zu berechnen. Dies resultiert in einer neuen Formel für symmetrisch positiv definite Matrizen. Sie verallgemeinert die Newton-Schulz Iteration, Altmans Formel für beschränkte und nicht singuläre Operatoren und Newtons Methode zur Berechnung von Nullstellen von Funktionen. Der Nachweis wird erbracht, dass die Konvergenzordnung immer mindestens quadratisch ist und adaptives Anpassen eines Parameters q in allen Fällen zu besseren Ergebnissen führt.
This thesis addresses the development and improvement of linear scaling algorithms for electronic structure based molecular dynamics. Molecular dynamics is a method for computer simulation of the complex interplay between atoms and molecules at finite temperature. Important advantages of this method are its high accuracy and predictive power. But the computational effort, which generally scales cubically with the number of atoms, hinders its applications to large systems and long time scales. With a new formalism, based on the grand-canonical potential and a factorization of the density matrix, the diagonalization of the corresponding Hamiltonian matrix is avoided. It exploits the fact that the Hamiltonian and the density matrix are sparse due to localization. This reduces the complexity of the calculations, so that linear scaling with respect to the system's size is achieved. To demonstrate its efficiency, the resulting algorithm is applied to a system of liquid methane, exposed to extreme pressure (around 100 GPa) and temperature (2000 - 8000 K). In the simulations, methane dissociates at temperatures exceeding 4000 K. The formation of sp²-bonded polymeric carbon is observed. The simulations provide no evidence for the formation of diamond and therefore have an impact on the hitherto planetary models of Neptune and Uranus. As the circumvention of the diagonalization of the Hamiltonian entails the inversion of matrices, the problem of calculating the (inverse) p-th root of a given matrix is further addressed. It results in a new formula for symmetric positive definite matrices that generalizes the Newton-Schulz iteration, Altman's scheme for bounded and non-singular operators, and Newton's method for finding roots of functions. The proof is furnished that the order of convergence is always at least quadratic and that adaptively adjusting a parameter q leads in all cases to a better performance.
DDC: 510 Mathematik
510 Mathematics
Institution: Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Department: MaxPlanck GraduateCenter
Place: Mainz
ROR: https://ror.org/023b0x485
DOI: http://doi.org/10.25358/openscience-2890
URN: urn:nbn:de:hebis:77-38601
Version: Original work
Publication type: Dissertation
License: In Copyright
Information on rights of use: https://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/
Extent: 110 S.
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