Please use this identifier to cite or link to this item: http://doi.org/10.25358/openscience-2837
Authors: Nelson, Peter
Title: Brownian motion in a renormalized inverse-square Poisson potential
Online publication date: 25-Jan-2018
Language: english
Abstract: We study a d-dimensional Brownian motion W moving in a potential V based on a Poisson point process. It depends on the properties of the so called shape function K, whether the corresponding quenched and annealed Gibbs measures are well defined. In some cases, the lack of finiteness of the normalizing constant can be overcome by applying a renormalization introduced in [CK12]. Taking K(x) = θ|x|^(−p), the finiteness of the positive quenched exponential moments depends on whether p < 2 or p > 2. In the case p = 2, d = 3 we show that a phase transition occurs at θ = 1/16 which is closely related to the optimal constant in the classical Hardy inequality. With the help of a multipolar Hardy inequality we determine the asymptotic behaviour of the quenched exponentiel moment as t ↑ ∞.
Wir betrachten eine d-dimensionale Brownsche Bewegung W in einem zufälligen Potential, basierend auf einem Poisson'schen Punktprozess. Es hängt von den Eigenschaften des Potentialkerns K ab, ob die entsprechenden Gibbs-Maße wohldefiniert sind. Das Problem einer unendlichen Normalisierungskonstante kann in einigen Fällen mittels einer Renormierung gelöst werden; im Fall K(x) = θ|x|^(−p) hängt die Endlichkeit der quenched exponentiellen Momente davon ab, ob p < 2 oder p > 2 gilt. Im Fall p = 2, d = 3 zeigen wir, dass ein Phasenübergang im Wert θ = 1/16 auftritt. Dies steht in engem Zusammenhang zur optimalen Konstante in der klassischen Hardy-Ungleichung. Unter Zuhilfenahme einer multipolaren Hardy-Ungleichung bestimmen wir das asymptotische Verhalten von der quenched exponentiellen Momente für t ↑ ∞.
DDC: 510 Mathematik
510 Mathematics
Institution: Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Department: FB 08 Physik, Mathematik u. Informatik
Place: Mainz
ROR: https://ror.org/023b0x485
DOI: http://doi.org/10.25358/openscience-2837
URN: urn:nbn:de:hebis:77-diss-1000018448
Version: Original work
Publication type: Dissertation
License: In Copyright
Information on rights of use: https://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/
Extent: 96 Seiten
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