Authors:	Bogner, Christian
Title:	Mathematical aspects of Feynman integrals
Online publication date:	1-Apr-2010
Year of first publication:	2010
Language:	english
Abstract:	In the present dissertation we consider Feynman integrals in the framework of dimensional regularization. As all such integrals can be expressed in terms of scalar integrals, we focus on this latter kind of integrals in their Feynman parametric representation and study their mathematical properties, partially applying graph theory, algebraic geometry and number theory. The three main topics are the graph theoretic properties of the Symanzik polynomials, the termination of the sector decomposition algorithm of Binoth and Heinrich and the arithmetic nature of the Laurent coefficients of Feynman integrals.\r\n\r\nThe integrand of an arbitrary dimensionally regularised, scalar Feynman integral can be expressed in terms of the two well-known Symanzik polynomials. We give a detailed review on the graph theoretic properties of these polynomials. Due to the matrix-tree-theorem the first of these polynomials can be constructed from the determinant of a minor of the generic Laplacian matrix of a graph. By use of a generalization of this theorem, the all-minors-matrix-tree theorem, we derive a new relation which furthermore relates the second Symanzik polynomial to the Laplacian matrix of a graph.\r\n\r\nStarting from the Feynman parametric parameterization, the sector decomposition algorithm of Binoth and Heinrich serves for the numerical evaluation of the Laurent coefficients of an arbitrary Feynman integral in the Euclidean momentum region. This widely used algorithm contains an iterated step, consisting of an appropriate decomposition of the domain of integration and the deformation of the resulting pieces. This procedure leads to a disentanglement of the overlapping singularities of the integral. By giving a counter-example we exhibit the problem, that this iterative step of the algorithm does not terminate for every possible case. We solve this problem by presenting an appropriate extension of the algorithm, which is guaranteed to terminate. This is achieved by mapping the iterative step to an abstract combinatorial problem, known as Hironaka\'s polyhedra game. We present a publicly available implementation of the improved algorithm. Furthermore we explain the relationship of the sector decomposition method with the resolution of singularities of a variety, given by a sequence of blow-ups, in algebraic geometry.\r\n\r\nMotivated by the connection between Feynman integrals and topics of algebraic geometry we consider the set of periods as defined by Kontsevich and Zagier. This special set of numbers contains the set of multiple zeta values and certain values of polylogarithms, which in turn are known to be present in results for Laurent coefficients of certain dimensionally regularized Feynman integrals. By use of the extended sector decomposition algorithm we prove a theorem which implies, that the Laurent coefficients of an arbitrary Feynman integral are periods if the masses and kinematical invariants take values in the Euclidean momentum region. The statement is formulated for an even more general class of integrals, allowing for an arbitrary number of polynomials in the integrand. In der vorliegenden Dissertation befassen wir uns mit Feynman-Integralen in dimensionaler Regularisierung. Da jedes Integral dieser Art durch skalare Feynman-Integrale dargestellt werden kann konzentrieren wir uns auf diese skalaren Integrale in ihrer Darstellung durch Feynman-Parameter und untersuchen ihre mathematischen Eigenschaften durch die Anwendung von Methoden aus der Graphentheorie, der Algebraischen Geometrie und der Zahlentheorie. Die drei zentralen Themen der Arbeit sind die graphentheoretischen Eigenschaften von Symanzik-Polynomen, die Terminierung des Sektorzerlegungsalgorithmus von Binoth und Heinrich und die arithmetische Natur der Laurent-Koeffizienten dieser Integrale.\r\n\r\nDer Integrand eines beliebigen dimensional regularisierten, skalaren Feynman-Integrals kann durch Verwendung der zwei weithin bekannten Symanzik-Polynome dargestellt werden. Wir geben einen detaillierten Einblick in die graphentheoretischen Eigenschaften dieser Polynome. Das erste Symanzik-Polynom kann mit Hilfe des Matrix-Baum-Theorems als die Determinante einer Untermatrix der Laplace-Matrix eines Graphen berechnet werden. Wir verwenden eine Verallgemeinerung dieses Theorems, das sogenannte all-minors-matrix-tree-theorem, um eine neue Identität herzuleiten, die außerdem auch das zweite Symanzik-Polynom mit der Laplace-Matrix eines Graphen in Beziehung setzt.\r\n\r\nDer Sektorzerlegungsalgorithmus von Binoth und Heinrich ist, ausgehend von der Darstellung durch Feynman-Parameter, eine Methode für die numerische Berechnung der Laurent-Koeffizienten beliebiger Feynman-Integrale im euklidischen Impulsbereich. Dieser häufig verwendete Algorithmus enthält einen iterativen Schritt, bestehend aus dem geeigneten Zerlegen des Integrationsgebietes und der Deformation der resultierenden Teile. Dieses Verfahren führt zu einem Entkoppeln der überlappenden Singularitäten des Integrals. Wir zeigen durch ein Gegenbeispiel, dass diese Iteration nicht in jedem möglichen Fall terminiert. Wir lösen dieses Problem, indem wir eine Erweiterung des Algorithmus präsentieren, deren Terminierung garantiert ist. Dies erreichen wir, indem wir den iterativen Schritt der Methode auf ein abstraktes, kombinatorisches Problem abbilden, das als Hironakas Polyederspiel bekannt ist. Wir präsentieren eine frei erhältliche Implementierung des erweiterten Algorithmus. Weiterhin erklären wir den Zusammenhang zwischen der Methode der Sektorzerlegung und dem Auflösen von Singularitäten einer Varietät durch Sequenzen von Aufblasungen in der algebraischen Geometrie.\r\n\r\nMotiviert durch die Verbindung zwischen Feynman-Integralen und Themen der algebraischen Geometrie betrachten wir die Menge der Perioden, gemäß ihrer Definition durch Kontsevich und Zagier. Diese spezielle Menge von Zahlen enthält multiple Zeta-Werte und bestimmte Werte von Polylogarithmen, die ihrerseits wiederum in den Laurent-Koeffizienten bestimmter Feynman-Integrale auftreten. Mit Hilfe des erweiterten Sektorzerlegungsalgorithmus beweisen wir ein Theorem das besagt, dass die Laurent-Koeffizienten eines beliebigen Feynman-Integrals Perioden sind, wenn man sie an algebraischen Werten der kinematischen Invarianten und Massen im euklidischen Impulsbereich auswertet. Die Aussage gilt auch für eine allgemeinere Klasse von Integralen, deren Integrand beliebig viele Polynome enthalten darf.
DDC:	530 Physik 530 Physics
Institution:	Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Department:	FB 08 Physik, Mathematik u. Informatik
Place:	Mainz
ROR:	https://ror.org/023b0x485
DOI:	http://doi.org/10.25358/openscience-2235
URN:	urn:nbn:de:hebis:77-22152
Version:	Original work
Publication type:	Dissertation
License:	In Copyright
Information on rights of use:	https://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/
Appears in collections:	JGU-Publikationen