Authors:	Mück, Matthias
Title:	Thermal relaxation for particle systems in interaction with several bosonic heat reservoirs
Online publication date:	19-Aug-2005
Year of first publication:	2005
Language:	english
Abstract:	The present thesis is concerned with the study of a quantum physical system composed of a small particle system (such as a spin chain) and several quantized massless boson fields (as photon gasses or phonon fields) at positive temperature. The setup serves as a simplified model for matter in interaction with thermal "radiation" from different sources. Hereby, questions concerning the dynamical and thermodynamic properties of particle-boson configurations far from thermal equilibrium are in the center of interest. We study a specific situation where the particle system is brought in contact with the boson systems (occasionally referred to as heat reservoirs) where the reservoirs are prepared close to thermal equilibrium states, each at a different temperature. We analyze the interacting time evolution of such an initial configuration and we show thermal relaxation of the system into a stationary state, i.e., we prove the existence of a time invariant state which is the unique limit state of the considered initial configurations evolving in time. As long as the reservoirs have been prepared at different temperatures, this stationary state features thermodynamic characteristics as stationary energy fluxes and a positive entropy production rate which distinguishes it from being a thermal equilibrium at any temperature. Therefore, we refer to it as non-equilibrium stationary state or simply NESS. The physical setup is phrased mathematically in the language of C*-algebras. The thesis gives an extended review of the application of operator algebraic theories to quantum statistical mechanics and introduces in detail the mathematical objects to describe matter in interaction with radiation. The C*-theory is adapted to the concrete setup. The algebraic description of the system is lifted into a Hilbert space framework. The appropriate Hilbert space representation is given by a bosonic Fock space over a suitable L2-space. The first part of the present work is concluded by the derivation of a spectral theory which connects the dynamical and thermodynamic features with spectral properties of a suitable generator, say K, of the time evolution in this Hilbert space setting. That way, the question about thermal relaxation becomes a spectral problem. The operator K is of Pauli-Fierz type. The spectral analysis of the generator K follows. This task is the core part of the work and it employs various kinds of functional analytic techniques. The operator K results from a perturbation of an operator L0 which describes the non-interacting particle-boson system. All spectral considerations are done in a perturbative regime, i.e., we assume that the strength of the coupling is sufficiently small. The extraction of dynamical features of the system from properties of K requires, in particular, the knowledge about the spectrum of K in the nearest vicinity of eigenvalues of the unperturbed operator L0. Since convergent Neumann series expansions only qualify to study the perturbed spectrum in the neighborhood of the unperturbed one on a scale of order of the coupling strength we need to apply a more refined tool, the Feshbach map. This technique allows the analysis of the spectrum on a smaller scale by transferring the analysis to a spectral subspace. The need of spectral information on arbitrary scales requires an iteration of the Feshbach map. This procedure leads to an operator-theoretic renormalization group. The reader is introduced to the Feshbach technique and the renormalization procedure based on it is discussed in full detail. Further, it is explained how the spectral information is extracted from the renormalization group flow. The present dissertation is an extension of two kinds of a recent research contribution by Jakšić and Pillet to a similar physical setup. Firstly, we consider the more delicate situation of bosonic heat reservoirs instead of fermionic ones, and secondly, the system can be studied uniformly for small reservoir temperatures. The adaption of the Feshbach map-based renormalization procedure by Bach, Chen, Fröhlich, and Sigal to concrete spectral problems in quantum statistical mechanics is a further novelty of this work. Diese Arbeit beschäftigt sich mit dem Studium quanten-physikalischer Systeme, die aus einem Teilchensystem (etwa einer Spinkette) and mehreren quantisierten masselosen Bosonenfeldern (wie Photonengase oder Phononenfelder) bei positiver Temperatur bestehen. Ein solcher Aufbau dient als Modell zur Beschreibung von Materie in Wechselwirkung mit thermischer „Strahlung“ aus verschiedenen Wärmequellen. Dabei stehen Fragen nach den dynamischen und thermodynamischen Eigenschaften einer solchen Teilchen–Boson Konfiguration weit außerhalb der thermischen Gleichgewichtssituation im Blickpunkt. Wir studieren ein spezielles Szenario, bei dem das Teilchensystem in Kontakt mit den Bosonsystemen (gelegentlich auch als Wärmebäder oder -reservoire bezeichnet) gebracht wird. Die Wärmebader werden jeweils in einem Zustand präpariert, der einem thermischen Gleichgewicht nahe ist – jedes Reservoir bei einer anderen Temperatur. Für eine solche Anfangskonfiguration analysieren wir die Zeitentwicklung, wie sie sich unter Wechselwirkung der Komponenten ergibt, und weisen für das System thermische Relaxation in einen stationären Zustand nach. In anderen Worten: wir beweisen die Existenz eines zeitlich invarianten Zustandes, welcher der eindeutige Grenzzustand ist, gegen den der Anfangszustand unter der Zeitentwicklung konvergiert. Solange die Reservoire bei verschiedenen Temperaturen angesetzt wurden, wird dieser stationäre Zustand thermodynamische Charakteristika wie stationäre Wärmeflüsse sowie eine positive Entropieproduktionsrate aufweisen. Dies sind wesentliche Unterscheidungsmerkmale gegenüber einem thermischen Gleichgewichtszustand bei beliebiger Temperatur. Wir bezeichnen einen solchen Zustand als NESS (non-equilibrium stationary state). Der oben skizzierte physikalische Aufbau wird mathematisch in der Sprache der C*-Algebren formuliert. Die Dissertation bietet einen ausführlichen Überblick über die Anwendung von Operator-algebraischen Theorien auf die statistische Quantenmechanik und führt detailliert die mathematischen Objekte zur Beschreibung von Materie in Wechselwirkung mit Strahlung ein. Die C*-Theorie wird dabei auf das konkrete Modell angepasst. Die algebraische Beschreibung des Systems wird in eine Hilbertraum-Darstellung übertragen. Der geeignete Hilbertraum ist durch einen bosonischen Fockraum über einem passenden L2-Raum gegeben. Der erste Teil der vorliegenden Arbeit schließt mit der Herleitung einer Spektraltheorie ab. Diese bringt die (thermo-) dynamischen Merkmale mit spektralen Eigenschaften eines geeigneten Generators, bezeichnet mit K, der Zeitentwicklung in der Hilbertraum-Darstellung in Zusammenhang. Dadurch wird die Frage nach thermischer Relaxation umformuliert in ein spektrales Problem. Der Operator K ist vom Typ Pauli-Fierz. Es schließt die Spektralanalyse des Generators K an. Diese Aufgabe ist das Herzstück der Arbeit und bringt verschiedene Techniken aus der Funktionalanalysis zur Anwendung. Der Operator K resultiert aus einer Störung eines Operators L0, der das nicht-wechselwirkende Teilchen – Boson System beschreibt. Alle spektralen Betrachtungen werden im störungstheoretischen Sinne durchgeführt, d.h. wir setzen voraus dass die Stärke der Kopplung hinreichend klein ist. Das Herauslesen von Merkmalen der Dynamik des Systems aus den Eigenschaften von K erfordert insbesondere die Kenntnis des Spektrums von K in der Nachbarschaft der Eigenwerte des ungestörten Operators L0. Da sich konvergente Neumannreihen-Entwicklungen zum Studium des gestörten Spektrums lediglich in einer Umgebung von der Ordnung der Kopplungsstärke um das ungestörte Spektrum eignen, bringen wir eine genauere Methode zur Anwendung, die so genannte Feshbach Abbildung. Diese Technik ermöglicht die Analyse des Spektrums auf kleineren Skalen durch Verlagerung der Untersuchung auf einen spektralen Unterraum. Da Notwendigkeit von spektraler Information auf beliebig kleinen Skalen erfordert die Iteration der Feshbach Abbildung. Dieses Verfahren führt zu einer Operator-theoretischen Renormierungsgruppe. Der Leser wird mit der Feshbach Technik vertraut gemacht und die hierauf aufbauende Renormierungsprozedur wird im Detail diskutiert. Des Weiteren wird die Extraktion der spektralen Information aus dem Renormierungsgruppenfluss erklärt. Diese Dissertation ergänzt einen aktuellen Forschungsbeitrag von Jakšić und Pillet zu einem ähnlichen physikalischen Modell in zweierlei Hinsicht. Erstens behandeln wir eine technisch wesentlich delikatere Situation durch die Betrachtung von bosonischen Wärmereservoiren anstelle fermionischer und, zweitens, können wird das Systems uniform für kleine Temperaturen studieren. Die Anpassung einer Feshbach-basierten Renormierungsgruppe entwickelt von Bach, Chen, Fröhlich und Sigal auf konkrete Spektralprobleme in der statistischen Quantenmechanik ist eine weitere Neuheit dieser Arbeit.
DDC:	510 Mathematik 510 Mathematics
Institution:	Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Department:	FB 08 Physik, Mathematik u. Informatik
Place:	Mainz
ROR:	https://ror.org/023b0x485
DOI:	http://doi.org/10.25358/openscience-1884
URN:	urn:nbn:de:hebis:77-8093
Version:	Original work
Publication type:	Dissertation
License:	In Copyright
Information on rights of use:	https://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/
Appears in collections:	JGU-Publikationen