Authors:	She, Bangwei
Title:	Numerical simulation of some viscoelastic fluids
Online publication date:	30-Mar-2015
Year of first publication:	2015
Language:	english
Abstract:	Numerical simulation of the Oldroyd-B type viscoelastic fluids is a very challenging problem. \r\nThe well-known High Weissenberg Number Problem\" has haunted the mathematicians, computer scientists, and \r\nengineers for more than 40 years. \r\nWhen the Weissenberg number, which represents the ratio of elasticity to viscosity, \r\nexceeds some limits, simulations done by standard methods break down exponentially fast in time. \r\nHowever, some approaches, such as the logarithm transformation technique can significantly improve \r\nthe limits of the Weissenberg number until which the simulations stay stable. \r\n\r\nWe should point out that the global existence of weak solutions for the Oldroyd-B model is still open. \r\nLet us note that in the evolution equation of the elastic stress tensor the terms describing diffusive \r\neffects are typically neglected in the modelling due to their smallness. However, when keeping \r\nthese diffusive terms in the constitutive law the global existence of weak solutions in two-space dimension \r\ncan been shown. \r\n\r\nThis main part of the thesis is devoted to the stability study of the Oldroyd-B viscoelastic model. \r\nFirstly, we show that the free energy of the diffusive Oldroyd-B model as well as its \r\nlogarithm transformation are dissipative in time. \r\nFurther, we have developed free energy dissipative schemes based on the characteristic finite element and finite difference framework. \r\nIn addition, the global linear stability analysis of the diffusive Oldroyd-B model has also be discussed. \r\nThe next part of the thesis deals with the error estimates of the combined finite element \r\nand finite volume discretization of a special Oldroyd-B model which covers the limiting \r\ncase of Weissenberg number going to infinity. Theoretical results are confirmed by a series of numerical \r\nexperiments, which are presented in the thesis, too. Numerische Simulation viskoelastischer Flüssigkeiten vom Oldroyd-B Typ ist ein sehr komplexes Problem. \r\nTatsächlich beschäftigt das bekannte high Weissenberg number problem” viele Mathematiker, Informatiker und Ingenieure seit längerer Zeit. \r\nWenn die Weissenberg-Zahl, die das Verhältnis zwischen der Elastizität und der Viskosität \r\ndes Fluides beschreibt, eine gewisse Schranke übersteigt, sind die Standardverfahren instabil und die Lösung exponentiell \r\nschnell in der Zeit wächst. Anderseits gibt es einige Ansätze, wie, z.B., die logarithmische Transformation, die \r\neine deutliche Verbesserung der Stabilität des Verfahrens und die Erhöhung der Schranke der Weissenberg-Zahl, für welche die \r\nnumerischen Simulationen stabil bleiben, erweisen.\r\n \r\nWir möchten darauf hinweisen, dass die globale Existenz schwacher Lösungen \r\nfür das Oldroyd-B Modell noch immer offen bleibt. Bei der Modellierung der Zeitevolution \r\ndes elastischen Spannungstensors werden typischerweise die Diffusionseffekte aufgrund \r\nihrer Kleinheit vernachlässigt. Werden allerdings diese Diffusionsterme beibehalten, \r\nkann die globale Existenz schwacher Lösungen in zwei Raumdimension gezeigt werden.\r\n \r\nDer Hauptteil dieser Doktorarbeit ist den Stabilitätsuntersuchungen für die viskoelastischen Flüssigkeiten vom \r\nOldroyd-B Typ gewidmet. Als Erstes wird gezeigt, dass die freie Energie des diffusiven Oldroyd-B Modells sowie die \r\nlogarithmische-Transformation dissipativ in der Zeit sind. Weiterhin entwickeln wir dissipative numerische Verfahren, \r\ndie auf der charakteristischen Finiten-Elementen-Methode und Finiten-Differenzen-Methode basieren. Darüber\r\nhinaus wird die lineare Stabilitätsanalyse des diffusiven Oldroyd-B Modells diskutiert.\r\nDer nächste Teil der Arbeit befasst sich mit den Fehlerschätzungen des kombinierten Finiten-Elementen- und \r\nFiniten-Volumen-Verfahrens für ein spezielles Oldroyd-B Modell mit der undendlichen Weissenberg-Zahl.\r\nTheoretische Ergebnisse werden durch eine Reihe von numerischen Experimenten, die in der Arbeit vorgestellt sind, bestätigt.
DDC:	510 Mathematik 510 Mathematics
Institution:	Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Department:	FB 08 Physik, Mathematik u. Informatik
Place:	Mainz
ROR:	https://ror.org/023b0x485
DOI:	http://doi.org/10.25358/openscience-1802
URN:	urn:nbn:de:hebis:77-40040
Version:	Original work
Publication type:	Dissertation
License:	In Copyright
Information on rights of use:	https://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/
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