Please use this identifier to cite or link to this item: http://doi.org/10.25358/openscience-1358
Authors: Müller, Susanne Andrea
Title: The F-pure threshold of quasi-homogeneous polynomials
Online publication date: 2-Nov-2017
Language: english
Abstract: To any polynomial $fin K[x_0, ldots, x_n]$, where $K$ is a field of characteristic $p>0$, one can attach an invariant called the $F$-pure threshold, first defined by Takagi and Watanabe. This invariant is the characteristic $p$ analogue of the log-canonical threshold in characteristic zero. The $F$-pure threshold, which is a rational number, is a quantitative measure of the severity of the singularity of $f$. Smaller values of the $F$-pure threshold correspond to a worse'' singularity. Inspired by the work of Bhatt and Singh we compute the $F$-pure threshold of quasi-homogeneous polynomials, i.e. polynomials $f in K[x_0, ldots, x_n]$ which are homogeneous with respect to some $mathbb{N}$-grading of $K[x_0, ldots, x_n]$. In particular, we consider the case of a Calabi-Yau hypersurface, i.e. a hypersurface given by a quasi-homogeneous polynomial $f$ in $n+1$ variables $x_0, ldots, x_n$ of degree equal to the degree of $x_0 cdots x_n$. Moreover, we relate the $F$-pure threshold of $f in R=K[x_0, ldots, x_n]$ to a numerical invariant of $X=Proj(R/fR)$, namely the order of vanishing of the so-called Hasse invariant on a certain deformation space of $X$. In the second part of this thesis we turn our attention away from the Hasse in-variant towards an important invariant in the theory of formal groups. Namely, we give a connection between the $F$-pure threshold of a polynomial and the height of the corresponding Artin-Mazur formal group. For this, we consider a quasi-homogeneous polynomial $f in mathbb{Z}[x_0, ldots, x_n]$ of degree $w$ equal to the degree of $x_0 cdots x_n$ and denote by $X$ the hypersurface given by $f=0$. We show that the $F$-pure threshold of the reduction $f_p in mathbb{F}_p[x_0, ldots, x_n]$ is equal to the log-canonical threshold of $f$ if and only if the height of the Artin-Mazur formal group associated to $H^{n-1}left( X, {mathbb{G}}_{m,X} right)$ is equal to 1. We also prove that a similar result holds for Fermat hypersurfaces of degree greater than $n+1$. Furthermore, we give examples of weighted Delsarte surfaces which show that other values of the $F$-pure threshold of a quasi-homogeneous polynomial of degree $w$ cannot be characterized by the height.
Man kann jedem Polynom $f in K[x_0, ldots, x_n]$, wobei $K$ ein Körper der Charakteristik $p>0$ ist, eine Invariante zuordnen, die als $F$-reine Schwelle bezeichnet wird und die zuerst von Takagi und Watanabe definiert wurde. Diese Invariante ist das Charakteristik $p$-Analogon der logkanonischen Schwelle in Charakteristik null. Die $F$-reine Schwelle, die eine rationale Zahl ist, ist ein quantitatives Maß dafür, wie ,,schlimm die Singularität von $f$ ist. Kleinere Werte der $F$-reinen Schwelle entsprechen einer ,,schlimmeren Singularität. Inspiriert durch die Arbeit von Bhatt und Singh berechnen wir die $F$-reine Schwelle von quasihomogenen Polynomen, das heißt Polynomen $f in K[x_0, ldots, x_n]$, die homogen sind bezüglich einer $mathbb{N}$-Graduierung von $K[x_0, ldots, x_n]$. Insbesondere betrachten wir den Fall einer Calabi-Yau-Hyperfläche, das heißt einer Hyperfläche, die durch ein quasihomogenes Polynom $f$ in $n+1$ Variablen $x_0, ldots, x_n$ gegeben ist und deren Grad gleich dem Grad von $x_0 cdots x_n$ ist. Außerdem stellen wir einen Zusammenhang zwischen der $F$-reinen Schwelle von $f in R=K[x_0, ldots, x_n]$ und einer numerischen Invariante von $X=Proj(R/fR)$ her, der Verschwindungsordnung der sogenannten Hasseinvariante auf einem bestimmten Deformationsraum von $X$. Im zweiten Teil dieser Arbeit lenken wir unsere Aufmerksamkeit von der Hasse-invariante auf eine wichtige Invariante in der Theorie der formalen Gruppen. Wir geben einen Zusammenhang zwischen der $F$-reinen Schwelle eines Polynoms und der Höhe der entsprechenden Artin-Mazur formalen Gruppe an. Dazu betrachten wir ein quasihomogenes Polynom $f in mathbb{Z}[x_0, ldots, x_n] $ vom Grad $w$, der gleich dem Grad von $x_0 cdots x_n$ ist, und bezeichnen mit $X$ die durch $f=0$ definierte Hyperfläche. Wir zeigen, dass die $F$-reine Schwelle der Reduktion $f_p in mathbb{F}_p [x_0, ldots, x_n]$ genau dann gleich der logkanonischen Schwelle von $f$ ist, wenn die Höhe der Artin-Mazur formalen Gruppe, die zu $H^ {n-1} left (X, {mathbb{G}}_{m, X} right)$ assoziiert ist, gleich $1$ ist. Wir beweisen auch, dass ein ähnliches Ergebnis für Fermathyperflächen vom Grad größer als $n+1$ gilt. Darüber hinaus geben wir Beispiele für gewichtete Delsartehyperflächen an, die zeigen, dass andere Werte der $F$-reinen Schwelle eines quasihomogenen Polynoms von Grad $w$ nicht durch die Höhe charakterisiert werden können.
DDC: 510 Mathematik
510 Mathematics
Institution: Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Department: FB 08 Physik, Mathematik u. Informatik
Place: Mainz
DOI: http://doi.org/10.25358/openscience-1358
Version: Original work
Publication type: Dissertation
License: in Copyright
Information on rights of use: https://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/
Extent: viii, 99, 21, 14 Seiten
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