Ein, zwei Punkte zu Nichtkommutativer Geometrie und Quantenfeldtheorie auf diskreten Räumen

Abstract

Über viele Jahre hinweg wurden wieder und wieder Argumente angeführt, die diskreten Räumen gegenüber kontinuierlichen Räumen eine fundamentalere Rolle zusprechen. Unser Zugangzur diskreten Welt wird durch neuere Überlegungen der Nichtkommutativen Geometrie (NKG) bestimmt. Seit ca. 15Jahren gibt es Anstrengungen und auch Fortschritte, Physikmit Hilfe von Nichtkommutativer Geometrie besser zuverstehen. Nur eine von vielen Möglichkeiten ist dieReformulierung des Standardmodells derElementarteilchenphysik. Unter anderem gelingt es, auch denHiggs-Mechanismus geometrisch zu beschreiben. Das Higgs-Feld wird in der NKG in Form eines Zusammenhangs auf einer zweielementigen Menge beschrieben. In der Arbeit werden verschiedene Ziele erreicht:Quantisierung einer nulldimensionalen ,,Raum-Zeit'', konsistente Diskretisierungf\'ur Modelle im nichtkommutativen Rahmen.Yang-Mills-Theorien auf einem Punkt mit deformiertemHiggs-Potenzial. Erweiterung auf eine ,,echte''Zwei-Punkte-Raum-Zeit, Abzählen von Feynman-Graphen in einer nulldimensionalen Theorie, Feynman-Regeln. Eine besondere Rolle werden Termini, die in derQuantenfeldtheorie ihren Ursprung haben, gewidmet. In diesemRahmen werden Begriffe frei von Komplikationen diskutiert,die durch etwaige Divergenzen oder Schwierigkeitentechnischer Natur verursacht werden könnten.Eichfixierungen, Geistbeiträge, Slavnov-Taylor-Identität undRenormierung. Iteratives Lösungsverfahren derDyson-Schwinger-Gleichung mit Computeralgebra-Unterstützung,die Renormierungsprozedur berücksichtigt.

Since many years again and again arguments were stated,which award to discrete spaces opposite to continuousspaces a more fundamental role to discrete spaces. Theapproach to the discrete world is determined by newerconsiderations of the noncommutative geometry (NCG). Sinceapprox. 15 years there are efforts and also progress to understandphysics better by noncommutative geometry. Only one of manypossibilities is the rewording of the standard model ofelementary particle physics. Among other things, one alsosucceeds in describing the Higgs mechanism geometrically.The Higgs field is described in the NCG in form of aconnection on a two elemantary set. This work attains different goals: Quantization of a zerodimensional ``space-time'', consistent discretization formodels in noncommutative framework. Yang-Mills-theories onone point with deformed Higgs potential. Extension to a``real'' two-point-space-time, counting of Feynman diagramsin a zero dimensional theory, Feynman rules. A special roleis devoted to terms which have their origin in quantum fieldtheory. Terms are discussed in this frame withoutcomplications, which could appear from divergencies ordifficulties of technical nature. Gauge fixing, Ghostcontributions, Slavnov-Taylor-identities andrenormalization. Iterative solution of theDyson-Schwinger equations with computer algebra, which takesthe renormalization procedure into account.