The geometry of Lagrangian fibres

Abstract

If the generic fibre f−1(c) of a Lagrangian fibration f : X → B on a complex Poisson– variety X is smooth, compact, and connected, it is isomorphic to the compactification of a complex abelian Lie–group. For affine Lagrangian fibres it is not clear what the structure of the fibre is. Adler and van Moerbeke developed a strategy to prove that the generic fibre of a Lagrangian fibration is isomorphic to the affine part of an abelian variety. rnWe extend their strategy to verify that the generic fibre of a given Lagrangian fibration is the affine part of a (C∗)r–extension of an abelian variety. This strategy turned out to be successful for all examples we studied. Additionally we studied examples of Lagrangian fibrations that have the affine part of a ramified cyclic cover of an abelian variety as generic fibre. We obtained an embedding in a Lagrangian fibration that has the affine part of a C∗–extension of an abelian variety as generic fibre. This embedding is not an embedding in the category of Lagrangian fibrations. The C∗–quotient of the new Lagrangian fibration defines in a natural way a deformation of the cyclic quotient of the original Lagrangian fibration.

Die generische Faser einer Lagrangeschen Faserung f : X → B ist isomorph zu der Kom- paktifizierung einer komplexen abelschen Lie–Gruppe, wenn sie kompakt und zusammen- hängend ist. Sind die Fasern affien ist im Allgemeinen nicht klar, was die Struktur der Faser ist. Adler und van Moerbeke haben eine Strategie entwickelt nach zu weisen, dass die Faser isomorph zum affinen Teil einer Abelschen Varietät ist.rnWir konnten ihre Strategie für die Fälle in denen die Faser der affine Teil einer (C∗)r– Erweiterung einer Abelschen Varietät ist erweitern und diese erfolgreich in mehreren Beispielen anwenden. In den Beispielen die wir untersucht haben stellten wir fest, dass Lagrangesche Faserungen, deren generische Faser der affine Teil einer verzweigten, zyk- lischen Überlagerung einer Abelschen Varietät ist in eine Lagrangesche Faserung einge- bettet werden können, deren generische Faser der affine Teil einer C∗–Erweiterung einer Abelschen Varietät ist. Der C∗ Quotient der neuen Lagrangeschen Faserung definiert auf natürliche Weise eine Deformation des zyklischen Quotienten der ursprünglichen La- grangeschen Faserung.