A commutative higher cycle map into Deligne-Beilinson cohomology

Abstract

Das Ziel dieser Arbeit ist die Konstruktion eines Homomorphismus von partiell definierten, graduiert-kommutativen Algebren, der nach Ubergang zu rationalen Kohomologiegruppen mit der Regulatorabbildung reg zwischen motivischer und Deligne-Beilinson Kohomologie übereinstimmt.rnZu Beginn der Arbeit werden verschiedene Komplexe beschrieben, mit denen sich die motivische und die Deligne-Beilinson Kohomologie berechnen lassen.rnIm ersten Kapitel wird der Komplex der höheren Chow Ketten und der Unterkomplex der "alternierenden" Ketten "in guter Lage" eingeführt, die beide die motivische Kohomologie berechnen (letzterer mit rationalen Koeffizienten).rnIn den folgenden beiden Kapiteln werden Komplexe C_D und P_D beschrieben, mit denen sich die (rationale) Deligne-Beilinson Kohomologie berechnen lässt. Diese sind aufgebaut aus sogenannten Strömen, die im zweiten Kapitel eingeführt werden. Verknüpft sind die beiden Komplexe durch eine Auswertungsabbildung ev, die für rationale Koeffizienten zu einem Quasi-Isomorphismus wird. Auf beiden Komplexen lassen sich (Schnitt-)Produkte definieren, von denen jedoch nur das Produkt auf P_D gleichzeitig assoziativ und graduiert-kommutativ ist.rnIm vierten Kapitel wird ganz allgemein für eine Familie von Komplexen, die einer Reihe an Anforderungen genügt, ein (partiell definierter) Homomorphismus (der Regulator) von dem Komplex der höheren Chow Ketten in eben diese Komplexe konstruiert. Die beiden oben genannten Komplexe erfüllen diese Anforderungen und liefern daher Regulatoren reg_C und reg_P , von denen der Erstgenannte mit der Regulatorabbildung von Kerr/Lewis/Müller-Stach (und damit auf Kohomo-rnlogieniveau auch mit dem zu Beginn erwähnten reg) übereinstimmt.rnEs zeigt sich, dass beide Regulatorabbildungen als Definitionsbereich die höheren Chow Ketten in guter Lage besitzen, und dass reg_C und ev ◦ reg_P nach Übergang zu rationalen Kohomologiegruppen übereinstimmen. Insbesondere sind beide Abbildungen äquivalent zu reg.rnAuf den höheren Chow Ketten existiert ein Schnittprodukt und es wird gezeigt, dass beide Regulatorabbildungen verträglich mit diesem Produkt sind. Das Schnittprodukt auf höheren Chow Ketten lässt sich zu einem assoziativen graduiert-kommutativen Produkt auf alternierenden Ketten erweitern. Die Abbildung reg_P ist auch verträglich mit diesem Produkt und liefert somit dierngewünschte Abbildung von assoziativen graduiert-kommutativen partiell definierten Algebren.rnFür die beiden Regulatorabbildungen lassen sich explizite Formeln angeben, welche beispielhaft für höhere Zykel mit kleinem kubischem Grad und für sogenannte Graph-Zykel aufgeführt werden.rnAls konkretes Beispiel werden Totaro-Zykel untersucht, was zu Dilogarithmen führt.rnAufbauend auf der Konstruktion der höheren Abel-Jacobi Abbildung von Kerr/Lewis/Müller-Stach, wird jeder der beiden Regulatorabbildungen eine Abel-Jacobi Abbildung zugeordnet.rnSchließlich wird auch das Verhalten der Regulator- und Abel-Jacobi Abbildungen unter äußeren Produkten und Pullbacks entlang höheren Korrespondenzen untersucht.