Convergence results for stochastic particle systems with social interaction

Abstract

We consider stochastic individual-based models for social behaviour of groups of animals. In these models the trajectory of each animal is given by a stochastic differential equation with interaction. The social interaction is contained in the drift term of the SDE. We consider a global aggregation force and a short-range repulsion force. The repulsion range and strength gets rescaled with the number of animals N. We show that for N tending to infinity stochastic fluctuations disappear and a smoothed version of the empirical process converges uniformly towards the solution of a nonlinear, nonlocal partial differential equation of advection-reaction-diffusion type. The rescaling of the repulsion in the individual-based model implies that the corresponding term in the limit equation is local while the aggregation term is non-local. Moreover, we discuss the effect of a predator on the system and derive an analogous convergence result. The predator acts as an repulsive force. Different laws of motion for the predator are considered.

Wir betrachten stochastische Modelle für das Sozialverhalten von Gruppen von Tieren, die auf einzelnen Individuen basieren. Die Trajektorie jedes einzelnen Tieres wird durch eine stochastische Differentialgleichung mit Interaktion beschrieben. Die soziale Interaktion ist im Driftterm der SDGL enthalten. Wir betrachten eine globale Aggregationskraft und eine Repulsionskraft mit kurzer Reichweite. Die Stärke und die Reichweite der Repulsion werden mit der Anzahl N der Tiere in der Gruppe reskaliert. Wir zeigen, dass für N gegen unendlich die stochastischen Fluktuationen verschwinden und eine geglättete Version des empirischen Prozesses gleichmäßig gegen die Lösung einer nicht-linearen, nicht-lokalen partiellen Differentialgleichung vom Typ einer Advektions-Reaktions-Diffusionsgleichung konvergiert. Wegen der Reskalierung der Repulsion im individuenbasierenden Modell ist der entsprechende Term in der Differentialgleichung für das Kontinuummodell lokal, während der Aggregationsterm nicht lokal bleibt. Darüber hinaus untersuchen wir den Effekt eines Räubers auf das System und leiten ein entsprechendes Konvergenzresultat her. Der Räuber wirkt als abstoßende Kraft. Wir betrachten verschiedene Bewegungsgesetze für den Räuber.