Spectral and variational characterizations of solutions to semilinear eigenvalue problems

Abstract

Die vorliegende Arbeit befaßt sich mit einer Klasse von nichtlinearen Eigenwertproblemen mit Variationsstrukturin einem reellen Hilbertraum. Die betrachteteEigenwertgleichung ergibt sich demnach als Euler-Lagrange-Gleichung eines stetig differenzierbarenFunktionals, zusätzlich sei der nichtlineare Anteil desProblems als ungerade und definit vorausgesetzt.Die wichtigsten Ergebnisse in diesem abstrakten Rahmen sindKriterien für die Existenz spektral charakterisierterLösungen, d.h. von Lösungen, deren Eigenwert gerade miteinem vorgegeben variationellen Eigenwert eines zugehörigen linearen Problems übereinstimmt. Die Herleitung dieserKriterien basiert auf einer Untersuchung kontinuierlicher Familien selbstadjungierterEigenwertprobleme und erfordert Verallgemeinerungenspektraltheoretischer Konzepte.Neben reinen Existenzsätzen werden auch Beziehungen zwischenspektralen Charakterisierungen und denLjusternik-Schnirelman-Niveaus des Funktionals erörtert.Wir betrachten Anwendungen auf semilineareDifferentialgleichungen (sowieIntegro-Differentialgleichungen) zweiter Ordnung. Diesliefert neue Informationen über die zugehörigenLösungsmengen im Hinblick auf Knoteneigenschaften. Diehergeleiteten Methoden eignen sich besonders für eindimensionale und radialsymmetrische Probleme, während einTeil der Resultate auch ohne Symmetrieforderungen gültigist.

The present thesis is centered around a class of semilineareigenvalue problems with variational structure on a realHilbert space. More precisely we consider equations whicharise as Euler-Lagrange equations of continuouslydifferentiable functionals and whose nonlinear parts are oddand definite.The main abstract results of the thesis are criteriafor the existence of spectrally characterized solutions,i.e. ofsolutions whose eigenvalues coincide with givenvariational eigenvalues of a related linear problem. Thesecriteria are derived by an examination of continuousfamilies of selfadjoint eigenvalue problems with the help ofgeneralized concepts from spectral theory.Beside mere existence results, relationships betweenspectral properties and the Ljusternik-Schnirelman levels ofthe functional are deduced.We consider applications to semilinear differential (andintegro-differential) equations of second order, and weobtain new information on the associated solution sets inview of nodal properties. Our techniques apply in fullstrength to one-dimensional or radially symmetric problems, while partial results also hold for anon-symmetric setting.