Risikomaße in der Finanzmathematik

Abstract

„Risikomaße in der Finanzmathematik“ Der Value-at -Risk (VaR) ist ein Risikomaß, dessen Verwendung von der Bankenaufsicht gefordert wird. Der Vorteil des VaR liegt – als Quantil der Ertrags- oder Verlustverteilung - vor allem in seiner einfachen Interpretierbarkeit. Nachteilig ist, dass der linke Rand der Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht beachtet wird. Darüber hinaus ist die Berechnung des VaR schwierig, da Quantile nicht additiv sind. Der größte Nachteil des VaR ist in der fehlenden Subadditivität zu sehen. Deswegen werden Alternativen wie Expected Shortfall untersucht. In dieser Arbeit werden zunächst finanzielle Risikomaße eingeführt und einige ihre grundlegenden Eigenschaften festgehalten. Wir beschäftigen uns mit verschiedenen parametrischen und nichtparametrischen Methoden zur Ermittlung des VaR, unter anderen mit ihren Vorteilen und Nachteilen. Des Weiteren beschäftigen wir uns mit parametrischen und nichtparametrischen Schätzern vom VaR in diskreter Zeit. Wir stellen Portfoliooptimierungsprobleme im Black Scholes Modell mit beschränktem VaR und mit beschränkter Varianz vor. Der Vorteil des erstens Ansatzes gegenüber dem zweiten wird hier erläutert. Wir lösen Nutzenoptimierungsprobleme in Bezug auf das Endvermögen mit beschränktem VaR und mit beschränkter Varianz. VaR sagt nichts über den darüber hinausgehenden Verlust aus, während dieser von Expected Shortfall berücksichtigt wird. Deswegen verwenden wir hier den Expected Shortfall anstelle des von Emmer, Korn und Klüppelberg (2001) betrachteten Risikomaßes VaR für die Optimierung des Portfolios im Black Scholes Modell.

“Risk measure in mathematics of finance” Value-at -Risk (VaR) is a risk measure whose use is demanded by the bank supervision. The advantage of the VaR is – as quantile of the yield or loss distribution - lies particularly in its being interpretable in a simple way. It is disadvantageous that the left bound of the likelihood distribution is not considered. In addition, the calculation of the VaR is difficult, because quantiles are not additive. The biggest disadvantage of the VaR lies in the missing subadditivity. Therefore alternatives have to be considered, such as Expected Shortfall. In this dissertation we first introduce financial risk measures and some of their basic properties. We deal with different parametric and non-parametric methods for the determination of the VaR with Its advantages and disadvantages. Furthermore we treat parametric and non-parametric assessors of the VaR in discrete time. We present portfolio optimization problems in the Black Scholes Model with bounded VaR and with bounded variance. The advantage of the first approach compared with the second one is being explained. We solve utility optimization problems concerning the final property with bounded VaR and with bounded variance. VaR does not state anything over the loss going beyond, while this is considered by Expected Shortfall. Therefore we use the Expected Shortfall here in place of the risk measure of VaR for the optimization of the portfolios in the Black Scholes Model, considered by Emmer, Korn, Klüppelberg (2001).