Generalized soluble groups of finite co-central rank

Abstract

Eine Gruppe G hat endlichen Prüferrang (bzw. Ko-zentralrang) kleiner gleich r, wenn für jede endlich erzeugte Gruppe H gilt: H (bzw. H modulo seinem Zentrum) ist r-erzeugbar. In der vorliegenden Arbeit werden, soweit möglich, die bekannten Sätze über Gruppen von endlichem Prüferrang (kurz X-Gruppen), auf die wesentlich größere Klasse der Gruppen mit endlichem Ko-zentralrang (kurz R-Gruppen) verallgemeinert.Für lokal nilpotente R-Gruppen, welche torsionsfrei oder p-Gruppen sind, wird gezeigt, dass die Zentrumsfaktorgruppe eine X-Gruppe sein muss. Es folgt, dass Hyperzentralität und lokale Nilpotenz für R-Gruppen identische Bediungungen sind. Analog hierzu sind R-Gruppen genau dann lokal auflösbar, wenn sie hyperabelsch sind. Zentral für die Strukturtheorie hyperabelscher R-Gruppen ist die Tatsache, dass solche Gruppen eine aufsteigende Normalreihe abelscher X-Gruppen besitzen. Es wird eine Sylowtheorie für periodische hyperabelsche R-Gruppen entwickelt. Für torsionsfreie hyperabelsche R-Gruppen wird deren Auflösbarkeit bewiesen. Des weiteren sind lokal endliche R-Gruppen fast hyperabelsch. Für R-Gruppen fallen sehr große Gruppenklassen mit den fast hyperabelschen Gruppen zusammen. Hierzu wird der Begriff der Sektionsüberdeckung eingeführt und gezeigt, dass R-Gruppen mit fast hyperabelscher Sektionsüberdeckung fast hyperabelsch sind.

A group G has finite Prüfer rank (resp. co-central rank) less or equal than r if every finitely generated subgroup of G is r-generated (resp. r-generated modulo ist centre). As far as possible, the present work generalizes the known results on groups of finite Prüfer rank (X-groups for short) to the larger class of groups of finite co-central rank (R-groups).For locally nilpotent groups which are torsion-free or p-groups, the central factor group of an R-group is an X-group. This implies that locally nilpotent groups are hypercentral. Similarly, R-groups are locally soluble if and only if they are hyperabelian. The crucial result is that hyperabelian R-groups have an ascending normal chain of abelian X-groups. We develop a Sylow theory for periodic hyperabelian groups. Torsion-free hyperabelian R-groups are shown to be soluble. Moreover, locally finite R-groups are virtually hyperabelian. Within the class of R-groups, large group classes collapse into the class of virtually hyperabelian groups. For that reason, the notion of a section cover is introduced. We prove that R-groups possessing a virtually hyperabelian section cover are virtually hyperabelian themselves.