Nearrings and a construction of triply factorized groups

Abstract

In this thesis a connection between triply factorised groups and nearrings is investigated. A group G is called triply factorised by its subgroups A, B, and M, if G = AM = BM = AB, where M is normal in G and the intersection of A and B with M is trivial. There is a well-known connection between triply factorised groups and radical rings. If the adjoint group of a radical ring operates on its additive group, the semidirect product of those two groups is triply factorised. On the other hand, if G = AM = BM = AB is a triply factorised group with abelian subgroups A, B, and M, G can be constructed from a suitable radical ring, if the intersection of A and B is trivial. In these triply factorised groups the normal subgroup M is always abelian. In this thesis the construction of triply factorised groups is generalised using nearrings instead of radical rings. Nearrings are a generalisation of rings in the sense that their additive groups need not be abelian and only one distributive law holds. Furthermore, it is shown that every triply factorised group G = AM = BM = AB can be constructed from a nearring if A and B intersect trivially. Moreover, the structure of nearrings is investigated in detail. Especially local nearrings are investigated, since they are important for the construction of triply factorised groups. Given an arbitrary p-group N, a method to construct a local nearring is presented, such that the triply factorised group constructed from this nearring contains N as a subgroup of the normal subgroup M. Finally all local nearrings with dihedral groups of units are classified. It turns out that these nearrings are always finite and their order does not exceed 16.

In dieser Arbeit wird eine Verbindung zwischen dreifach faktorisierten Gruppen und Fastringen untersucht. Eine Gruppe G heißt dreifach faktorisiert durch ihre Untergruppen A, B und M, wenn G = AM = BM = AB ist, wobei M ein Normalteiler von G und der Schnitt von A bzw. B mit M trivial ist. Es gibt eine bekannte Verbindung zwischen dreifach faktorisierten Gruppen und radikalen Ringen. Läßt man die adjungierte Gruppe eines radikalen Ringes auf der additiven Gruppe operieren, so ist das semidirekte Produkt der beiden Gruppen dreifach faktorisiert. Andererseits läßt sich jede dreifach faktorisierte Gruppe G = AM = BM = AB mit abelschen Untergruppen A, B und M aus einem radikalen Ring konstruieren, wenn A und B trivialen Schnitt haben. In diesen dreifach faktorisierten Gruppen ist der Normalteiler M stets abelsch. In dieser Arbeit wird die Konstruktion dreifach faktorisierter Gruppen aus radikalen Ringen verallgemeinert, indem Fastringe statt radikaler Ringe verwendet werden. Fastringe sind eine Verallgemeinerung von Ringen in dem Sinne, daß die additive Gruppe nicht notwendigerweise abelsch ist, und nur ein Distributivgesetz gilt. Weiterhin wird gezeigt, daß jede dreifach faktorisierte Gruppe G = AM = BM = AB aus einem geeigneten Fastring konstruiert werden kann, wenn A und B sich trivial schneiden. Außerdem wird in dieser Arbeit die Struktur von Fastringen näher untersucht, wobei besonders auf die für die Konstruktion dreifach faktorisierter Gruppen wichtigen lokalen Fastringe eingegangen wird. Es wird eine Methode vorgestellt, mit der man aus einer gegebenen p-Gruppe N von endlichem Exponenten (p prim) einen lokalen Fastring gewinnen kann, mit dem eine dreifach faktorisierte konstruiert werden kann, deren Normalteiler M eine zu N isomorphe Untergruppe besitzt. Den Abschluß bildet die Klassifikation aller lokalen Fastringe, deren Einheitengruppe eine Diedergruppe ist. Es stellt sich heraus, daß diese stets endlich sind und ihre Ordnung nicht größer als 16 sein kann.