Wavelet estimation in diffusions with periodicity

Abstract

Wir betrachten einen zeitlich inhomogenen Diffusionsprozess, der durch eine stochastische Differentialgleichung gegeben wird, deren Driftterm ein deterministisches T-periodisches Signal beinhaltet, dessen Periodizität bekannt ist. Dieses Signal sei in einem Besovraum enthalten. Wir schätzen es mit Hilfe eines nichtparametrischen Waveletschätzers. Unser Schätzer ist von einem Wavelet-Dichteschätzer mit Thresholding inspiriert, der 1996 in einem klassischen iid-Modell von Donoho, Johnstone, Kerkyacharian und Picard konstruiert wurde. Unter gewissen Ergodizitätsvoraussetzungen an den Prozess können wir nichtparametrische Konvergenzraten angegeben, die bis auf einen logarithmischen Term den Raten im klassischen iid-Fall entsprechen. Diese Raten werden mit Hilfe von Orakel-Ungleichungen gezeigt, die auf Ergebnissen über Markovketten in diskreter Zeit von Clémencon, 2001, beruhen. Außerdem betrachten wir einen technisch einfacheren Spezialfall und zeigen einige Computersimulationen dieses Schätzers.

We consider a time-inhomogeneous diffusion process, given by a stochastic differential equation, whose drift term contains a deterministic T-periodic signal with known periodicity. This signal is supposed to be contained in some Besov space. We estimate it using a non-parametric wavelet estimator. Our estimator is inspired by the thresholded wavelet density estimator for the classical iid-setting constructed by Donoho, Johnstone, Kerkyacharian and Picard in 1996. Under certain ergodicity assumptions on the process, we give non-parametric rates of convergence which correspond, up to a logarithmical term, to the rate of convergence in the classical iid-setting. These rates are proved using oracle inequalities that rely on results for discrete-time Markov chains by Clémencon from 2001. Besides, a technically simpler special case is considered and some computer simulations of this estimator are shown.