Random lattice models

Abstract

This thesis deals with three different physical models, where each model involves a random component which is linked to a cubic lattice. First, a model is studied, which is used in numerical calculations of Quantum Chromodynamics.In these calculations random gauge-fields are distributed on the bonds of the lattice. The formulation of the model is fitted into the mathematical framework of ergodic operator families. We prove, that for small coupling constants, the ergodicity of the underlying probability measure is indeed ensured and that the integrated density of states of the Wilson-Dirac operator exists. The physical situations treated in the next two chapters are more similar to one another. In both cases the principle idea is to study a fermion system in a cubic crystal with impurities, that are modeled by a random potential located at the lattice sites. In the second model we apply the Hartree-Fock approximation to such a system. For the case of reduced Hartree-Fock theory at positive temperatures and a fixed chemical potential we consider the limit of an infinite system. In that case we show the existence and uniqueness of minimizers of the Hartree-Fock functional. In the third model we formulate the fermion system algebraically via C*-algebras. The question imposed here is to calculate the heat production of the system under the influence of an outer electromagnetic field. We show that the heat production corresponds exactly to what is empirically predicted by Joule's law in the regime of linear response.

Diese Arbeit befasst sich mit drei verschiedenen physikalischen Modellen, in denen eine zufällige Komponente in Form eines Potentials bzw. Eichfeldes an ein kubisches Gitter geknüpft ist. Zuerst wird ein Modell untersucht, das in numerischen Rechnungen der Quantenchromodynamik benutzt wird. Die Formulierung dieses Models mit zufälligen Eichfeldern auf den Kanten eines kubischen Gitters wird in den mathematischen Rahmen von ergodischen Operatorfamilien eingefügt. Es wird gezeigt, dass für kleine Kopplungskonstanten die Ergodizität des zu Grunde liegenden Wahrscheinlichkeitsmaßes gegeben ist und dass die integrierte Zustandsdichte des Wilson-Dirac-Operators existiert. Die nächsten beiden Modelle sind sich in ihrer physikalischen Situation ähnlich. Beide untersuchen einen kubischen Kristall mit Unreinheiten, die in Form eines zufälligen Potentials an den Gitterpunkten modelliert werden. Nun wird ein System von Fermionen in diesem Kristall untersucht. Zunächst wird die Hartree-Fock Näherung auf ein solches System angewendet. Im Fall der reduzierten Theorie bei positiver Temperatur und festem chemischen Potential untersuchen wir den thermodynamischen Limes und zeigen die Existenz und Eindeutigkeit des Minimierers des Hartree-Fock Funktionals. Im letzten Modell wird das Fermionensystem algebraisch mittels C*-Algebren formuliert. Dann wird die Wärmeproduktion unter dem Einfluss eines äußeren elektromagnetischen Feldes untersucht. Im Bereich der linearen Response wird gezeigt, dass die Wärmeproduktion exakt dem empirisch bekannten Jouleschen Gesetz entspricht.