Symplectic lagrangian fibrations

Abstract

In this work we investigate the deformation theory of pairs of an irreducible symplectic manifold X together with a Lagrangian subvariety Y in X, where the focus is on singular Lagrangian subvarieties. Among other things, Voisin's results [Voi92] are generalized to the case of simple normal crossing subvarieties; partial results are also obtained for more complicated singularities.rnAs done in Voisin' s article, we link the codimension of the subspace of the universal deformation space of X parametrizing those deformations where Y persists, to the rank of a certain map in cohomology. This enables us in some concrete cases to actually calculate or at least estimate the codimension of this particular subspace. In these cases the Lagrangian subvarieties in question occur as fibers or fiber components of a given Lagrangian fibration f : X --> B. We discuss examples and the question of how our results might help to understand some aspects of Lagrangian fibrations.

In der vorliegenden Arbeit wird die Deformationstheorie von Paaren von einer irreduzibel symplektischen Mannigfaltigkeit X und einer Lagrangeschen Untervarietät Y in X untersucht, wobei das Hauptaugenmerk auf singulären Lagrangeschen Untervarietäten liegt. Die Resultate von Voisin [Voi92] werden unter Anderem auf den Fall von Untervarietäten mit einfachen normalen Überkreuzungen verallgemeinert; ebenfalls werden Teilergebnisse für kompliziertere Singularitäten erzielt. rnWie bereits bei Voisin geschehen, können wir die Kodimension desjenigen Unterraumes des universellen Deformationsraumes von X, der Deformationen parametrisiert, bei denen Y mit deformiert, mit dem Rang einer gewissen Abbildung in Kohomologie in Verbindung bringen. Dies erlaubt es uns, in konkreten Fällen die Kodimension des besagten Unterraumes zu bestimmen oder wenigstens abzuschätzen. Dabei handelt es sich bei den Lagrangeschen Untervarietäten Y in der Regel um Fasern oder Faserkomponenten einer gegebenen Lagrangeschen Faserung f : X --> B. Wir diskutieren Beispiele und gehen darauf ein, wie unsere Resultate dem Verständnis gewisser Aspekte Lagrangescher Faserungen förderlich sein könnten.