Non-parametric estimation of the diffusion coefficient of a branching diffusion with immigration

Abstract

Wir betrachten Systeme von endlich vielen Partikeln, wobei die Partikel sich unabhängig voneinander gemäß eindimensionaler Diffusionen \[dX_t = b(X_t)\,dt + \sigma(X_t)\,dW_t\] bewegen. Die Partikel sterben mit positionsabhängigen Raten und hinterlassen eine zufällige Anzahl an Nachkommen, die sich gemäß eines Übergangskerns im Raum verteilen. Zudem immigrieren neue Partikel mit einer konstanten Rate. Ein Prozess mit diesen Eigenschaften wird Verzweigungsprozess mit Immigration genannt. Beobachten wir einen solchen Prozess zu diskreten Zeitpunkten, so ist zunächst nicht offensichtlich, welche diskret beobachteten Punkte zu welchem Pfad gehören. Daher entwickeln wir einen Algorithmus, um den zugrundeliegenden Pfad zu rekonstruieren. Mit Hilfe dieses Algorithmus konstruieren wir einen nichtparametrischen Schätzer für den quadrierten Diffusionskoeffizienten $\sigma^2(\cdot),$ wobei die Konstruktion im Wesentlichen auf dem Auffüllen eines klassischen Regressionsschemas beruht. Wir beweisen Konsistenz und einen zentralen Grenzwertsatz.

We consider finite systems of branching particles where the particles move independently of each other according to one-dimensional diffusions \[dX_t = b(X_t)\,dt + \sigma(X_t)\,dW_t.\] Particles die at a position-dependent rate and leave a random number of offspring located in space according to some transition kernel. In addition, new particles immigrate at a constant rate. A process with these properties is called branching diffusion with immigration (BDI). Observing a BDI at discrete points in time, it is not evident which discretely observed points belong to which path. Therefore, we develop an algorithm for reconstructing the underlying trajectory. With the aid of this algorithm, we construct a non-parametric estimator for the squared diffusion coefficient $\sigma^2(\cdot),$ essentially by filling a classical regression scheme. We prove consistency and a central limit theorem.