Artin-Tate motives and cell modules

Abstract

Spitzweck's representation theorem states that the triangulated category of mixed Tate motives, $DMT(k)$, over a perfect field $k$ is equivalent to the bounded homotopy category of finite $mathcal{N}(k)$-cell modules, $mathcal{KCM}_{mathcal{N}(k)}^f$, where $mathcal{N}(k)$ is the cycle algebra over $k$. The category $DMT(k)$ is a full triangulated subcategory of the category of mixed Artin-Tate motives, $DMAT(k)$. For a number field $k$, we construct a category of cell modules that is equivalent to $DMAT(k)$ and restricts to the equivalence given by Spitzweck's representation theorem. Furthermore, $DMT(k)$ and $DMAT(k)$ carry non-degenerate t-structures whose hearts are the Tannakian categories $MT(k)$ respectively $MAT(k)$. We compute the Tannaka group of $MAT(k)$ as the semi-direct product of the absolute Galois group of $k$ and the Tannaka group of $MT(bar{k})$.

Spitzwecks Darstellungssatz (Spitzweck's representation theorem) besagt, dass die triangulierte Kategorie der gemischten Tate-Motive, $DMT(k)$, über einem vollkommenen Körper $k$ äquivalent zur beschränkten Homotopiekategorie endlicher $mathcal{N}(k)$-Zellmoduln, $mathcal{KCM}_{mathcal{N}(k)}^f$, ist, wobei $mathcal{N}(k)$ die Zykelalgebra über $k$ bezeichnet. Die Kategorie $DMT(k)$ ist eine volle triangulierte Unterkategorie der Kategorie der gemischten Arin-Tate-Motive, $DMAT(k)$. Wir konstruieren für einen Zahlkörper $k$ eine Kategorie von Zellmoduln, die äquivalent zu $DMAT(k)$ ist und eingeschränkt auf $mathcal{KCM}_{mathcal{N}(k)}^f$ die Äquivalenz von Spitzweck liefert. Weiterhin existieren t-Strukturen auf den Kategorien $DMT(k)$ und $DMAT(k)$, deren Herzen die Tannaka-Kategorien $MT(k)$ beziehungsweise $MAT(k)$ sind. Wir berechnen dielinebreak Tannaka-Gruppe von $MAT(k)$ als das semi-direkte Produkt der absoluten Galoisgruppe von $k$ und der Tannaka-Gruppe von $MT(bar{k})$.