Poisson Representations for Spatial Population Models with Competition

Abstract

Abstract: In this thesis we extend the Kurtz-Rodrigues representation to spatial population models implementing competition between the individuals. The KR-representation is a Poisson representation of the Dawson-Watanabe superprocess meaning that it is a particle model with the superprocess as high density limit . But the KR-representation has the special property, that the genealogical information of the particle does not get lost, when we construct the high-density-limit . Competition is modeled by an additional death rate for the particles, which may vary depending on the size and the distribution of the population. The considered competition models are extensions of the Bolker-Pacala models and the spatial equivalent of the logistic Feller-diffusion. In the spirit of Evans and Perkins we obtain our Poisson representation by cutting those out from the KR-representation. Therefore we develop an integration theory for the KR-representation based on the ideas of Perkins. This allows us to equip the particles with death markers identifying those particles which suffered from a prematurely death due to competition. Additionally to the construction of the Poisson representations, we also show, how these could be used to study the extinction behavior of Bolker-Pacala models.

Zusammenfassung: In der vorliegenden Arbeit erweitern wir die Kurtz-Rodrigues-Repräsentation auf räumliche Populationsmodelle, in denen die Individuen miteinander in Konkurrenz stehen. Die KR-Repräsentation ist eine Poissondarstellung des Dawson-Watanabe-Superprozesses, es handelt sich also um ein Partikelmodell mit dem Superprocess als high-density limit . Das Besondere an der KR-Repräsentation ist, dass die genealogische Information der zugrundeliegenden Partikel nicht verloren geht, wenn wir den Superprocess konstruieren. Um die erhöhte Sterblichkeit aufgrund des Konkurrenzkampfes zu modellieren, erhalten die Partikel eine zusätzliche Todesrate, welche von der Gröÿe und der Verteilung der Population abhängt. Bei den von uns betrachteten Populationsmodellen handelt es sich um Erweiterungen der Bolker-Pacala-Modelle und des räumlichen Äquivalents der logistischen Feller-Diffusion. Im Geiste von Evans und Perkins gewinnen wir unsere Poissondarstellungen aus der ursprünglichen KR-Repräsentation durch Ausschneiden. Hierzu entwickeln wir eine Integrationstheorie basierend auf den Ideen von Perkins. Diese erlaubt es uns, die Partikel mit Todesmarkern auszustatten, die jene Partikel markieren, welche aufgrund des Konkurrenzkampfes einen vorzeitigen Tod erlitten haben. Neben der Konstruktion der Poissondarstellungen, zeigen wir, wie diese verwendet werden könnten, um das Aussterbeverhalten von Bolker-Pacala Modellen zu studieren.